E se chegarem várias ondas?

Sobreposição de ondas 

Ficha de Aprendizagem

Sobreposição de duas ondas iguais com diferença de fase não nula

Se em vez de uma tivermos, no mesmo ponto do espaço, duas ou mais ondas em simultâneo, como será a onda resultante?

Na verdade, quando temos mais do que uma onda num mesmo meio, temos de ter em conta que elas se irão sobrepor.

Princípio da Sobreposição

Soma dos valores correspondentes a um determinado ponto no espaço e no tempo, de cada uma das ondas individuais.

Vamos imaginar que temos duas ondas sinusoidais, cujo comportamento é descrito por uma função de onda.

Assim, temos para a onda 1

e para a onda 2 vamos supor que a única diferença em relação à primeira é uma diferença de fase φ e que tanto o comprimento de onda como a frequência se mantêm iguais:

Aplicando o Princípio da sobreposição a estas ondas obtemos:

Das propriedades trigonométricas sabemos que:

(1)

Para o nosso caso temos então:

A função de onda para a sobreposição de duas ondas iguais com uma diferença de fase φ é

Da função que se obtém para a onda sobreposta verificamos que a sua dependência espácio-temporal continua a ser descrita por uma função sinusoidal. Obtemos o mesmo comprimento de onda e a mesma frequência. A diferença de fase passa a metade da diferença de fase da onda 2.

Verificamos também que há uma alteração no termo relativo à amplitude da onda

Interferência construtiva

Para duas ondas iguais, se a diferença de fase entre elas for 0, ou seja, φ = 0, a onda sobreposta tem, como única diferença, a duplicação da amplitude. É um fenómeno de interferência construtiva.

Fig. 1 - Interferência construtiva.

Fig. 1 - Interferência construtiva.

Interferência destrutiva

Para duas ondas iguais, se estiverem em oposição de fase, ou seja, φ = π, a onda sobreposta é nula. É um fenómeno de interferência destrutiva.

 

Fig. 2 - Interferência destrutiva.

Fig. 2 - Interferência destrutiva.

Onda estacionária

Para duas ondas distintas que possuem a mesma amplitude, frequência e comprimento de onda, mas que viajam em direcções opostas, temos as seguintes funções de onda:

Aplicando novamente o Princípio da sobreposição obtemos facilmente:

Aplicando a propriedade trignométrica (1) obtemos uma nova função de onda.

A função de uma onda estacionária é:

Diz-se que a onda é estacionária porque a função resultante não possui um argumento na função seno ou coseno que contenha kxωt. Assim sendo, não se trata de uma onda que se desloca no tempo. Neste caso, os pontos de amplitude máxima vão ser dados quando a função sin kx é ±1. Ou seja:

Como k = 2π/λ então a posição destes pontos, também designados por antinodos, vai ser:

com n = 1, 3, 5...

Também relevantes para o estudo destas ondas são os pontos onde a amplitude é zero, aos quais se chama habitualmente de nodos. Neste caso, queremos ver quando é que a função sin kx é 0. Assim sendo, as condições para isso acontecer é o argumento ser

e, tal como anteriormente, temos também

com n = 0, 1, 2, 3...

Exemplo de uma onda estacionária

Um exemplo simples correspondente a uma onda estacionária é utilizando uma corda. Ao pegar nas duas pontas da corda com as mãos e abanar a corda em ambas as pontas, cria-se um movimento oscilatório. O efeito criado é precisamente o de uma onda estacionária.

Uma condição ?ca imposta à partida: ao segurar cada uma das pontas da corda, dois nodos são definidos. Ao impor esta condição de fronteira, padrões naturais para a oscilação são determinados, aos quais se chamam modos normais. Cada um possui uma frequência específica que pode ser determinada.

Da análise efectuada às ondas estacionárias, verificamos que os nodos e os antinodos estão separados por 1/4 do comprimento de onda. O primeiro modo normal a considerar é aquele onde os únicos nodos são os que se encontram na fronteira (figura 3).

Fig. 3 - Primeiro modo, com comprimento de onda 2L.

Fig. 3 - Primeiro modo, com comprimento de onda 2L.

Neste caso, é fácil observar que o comprimento de onda corresponde a 2 vezes o comprimento da corda (L). O modo seguinte é aquele onde existe mais um nodo no meio da corda (figura 4).

Fig. 4 - Segundo modo, com comprimento de onda L.

Fig. 4 - Segundo modo, com comprimento de onda L.

E, neste caso, o comprimento de onda reduziu-se para L (é fácil notar aqui que temos um período completo para este modo), e assim sucessivamente.
Temos então uma expressão genérica para o comprimento de onda de cada modo que é dada por

com n = 1, 2, 3,...

Mas também é conhecida a expressão da frequência (f = v/λ), pelo que sabendo que a velocidade de propagação da onda na corda vai ser dada por:

onde T é a tensão na corda e µ a densidade de massa linear, obtém-se:

Definimos como frequência fundamental o caso n = 1.

Contudo, vemos que as frequências seguintes são basicamente múltiplos inteiros da frequência fundamental. Devido a esta relação, dizemos que esta série de frequências é uma série harmónica, cujos modos normais são denominados por harmónicas.

Ou seja, temos f2 = 2f1 e assim sucessivamente. Ou de um modo geral fn = nf1.

Vamos agora obter a expressão do comprimento de onda dos modos normais de uma corda como onda estacionária, através das condições fronteiras do problema, isto é, y(0, t) = y(L, t) = 0.

Vimos que a função de onda para uma onda estacionária era dada por:

Para a primeira condição fronteira, verificamos rapidamente que ela é obedecida. Quando x = 0 então sen 0 = 0 e pelo que y(x, t) = 0. Já para a segunda condição temos de tomar em conta a seguinte condição de modo a que sen kx seja 0:

knL = nπ

mas como sabemos que o número de onda é dado por:

então, substituindo, obtemos:

que é o mesmo resultado que obtivemos anteriormente.

Conteúdo gentilmente cedido por: IST
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