Substituições trigonométricas

Nesta seção nal apresentaremos métodos para calcular primitivas de funções particulares, onde aparecem raizes de polinômio do segundo grau:

O nosso objetivo é fazer uma substituição que transforme o polinômio que está dentro da raiz em um quadrado perfeito. Essas substituições serão baseadas nas seguintes idenditades trigonométricas:

A primitiva

Observe primeiro que é bem denido se x ϵ [ -1, 1]. Para simplicar, suponhamos que x ϵ [0, 1]. Para calcular usaremos (6.47) para transformar 1 - x2 em um quadrado perfeito. Portanto, consideremos a substituição

O método descrito acima se aplica a cada vez que se quer integrar uma função que contém uma raiz da forma , com a, b > 0. Para transformar o polinómio a2 - b2x2 em um quadrado perfeito, podemos tentar as seguintes subsituições

Depois de ter feito a substituição, aparece em geral uma primitiva de potências de funções trigonométricas, parecidas com aquelas encontradas na Seção 6.11.1.

Exemplo 6.42. Neste exemplo vericaremos que a área de um disco de raio R é igual a πR2.

Exemplo 6.43. Calculemos a primitiva . Usemos a substituição :

Essa última primitiva pode ser tratada como no Exercício 6.39:

A primitiva

Para calcular usaremos (6.48) para transformar 1 + x2em um quadrado perfeito. Portanto, consideremos a substituição

O método descrito acima se aplica a cada vez que se quer integrar uma função que contém uma raiz da forma , com a, b > 0. Para transformar o polinómio a2 + b2x2 em um quadrado perfeito, podemos tentar as seguintes subsituições:

A primitiva

Finalmente, consideremos a primitiva . Para transformar x2 - 1 num quadrado perfeito, usaremos a relação (6.48): . Assim, chamando , temos , portanto

O método apresentado acima sugere que para integrar uma função que contém um polinômio do segundo grau da forma , pode-se tentar fazer a substituição

Exemplo 6.45. Consideremos a primitiva , fazendo a substituição , :

Para voltar à variável x, façamos uma interpretação geométrica da nossa substituição. A relação , isto é , se concretiza no seguinte triângulo:

Conteúdo gentilmente cedido por: Sacha Friedli
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