Áreas de superfícies de revolução

Suponha que se queira calcular a área da superfície do sólido do início da Seção 6.7 (sem os dois discos de frente e de trás), denotada A(S). De novo, aproximaremos a área A(S) por uma soma de áreas mais simples.

Para decompor a área em áreas mais elementares, escolhamos uma divisão , e para cada intervalo [xi-1; xi], consideremos o anel Ji obtido girando o segmento ligando (xi-1, f(xi-1)) a (xi, f(xi)) em torno do eixo x:

Pode ser vericado que o anel Ji tem uma área dada por

Quando for sucientemente pequeno, e se f for contínua, f(xi)+f(xi-1) pode ser aproximada por 2f(xi). Logo, colocando em evidência dentro da raiz,

Quando for pequeno, o quociente pode ser aproximado por f'(xi). Logo, a área total pode ser aproximada pela soma de Riemann

Quando n -> ∞ e todos os ∆xi -> 0, a soma de Riemann acima converge para a integral

Exemplo 6.26. Considere a superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo x, entre x = 0 e x = 1. A sua área é dada pela integral

Conteúdo gentilmente cedido por: Sacha Friedli
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