Primitivas

Nesta seção apresentaremos os principais métodos de integração: por substituição, e por partes. Outros métodos de integração serão encontrados mais longe no texto. Antes de começar, faremos um comentário sobre as notações usadas para denotar primitivas.

Para uma dada função f, queremos achar uma primitiva F, isto é uma função cuja derivada F' é igual a f. Essa operação, inversa da derivada 6, será chamada de integrar f. Por isso, é útil introduzir uma notação que mostra que F é o resultado de uma transformação aplicada a f:

em que C é uma constante arbitrária. Ao invés da integral definida, a integral indefinida é uma função de x, que por denição satisfaz

Como a operação "integrar com respeito a x" é a operação inversa da derivada, temos

Além disso, as seguintes propriedades são satisfeitas (λ ϵ R é uma constante):

As seguintes primitivas fundamentais foram calculadas no Exercício 6.5:

O caso p = 1 em (3) corresponde a, que obviamente é denida somente para x ≠ 0. Ora, se x > 0, temos , e se x < 0, temos . Logo,


Integração por Substituição

Exemplo 6.7. Suponha que se queira calcular

Apesar da função x cos(x2) não ser a derivada de uma função elementar, ela possui uma estrutura particular: o "x" que multiplica o cosseno é um polinômio cujo grau é um a menos do que o polinômio "x2" contido dentro do cosseno. Ora, sabemos que a derivada diminui o grau de um polinômio. No nosso caso: (x2)' = 2x. Logo, ao multiplicar e dividir a primitiva por 2, podemos escrever

Agora, reconhecemos em (x2)' cos(x2) uma derivada. De fato, pela regra da cadeia, (sen(x2))' = cos(x2) . (x2)'. Logo, usando (6.14).

Portanto,

Do mesmo jeito,

A idéia apresentada nesse último exemplo consiste em conseguir escrever a função integrada na forma da derivada de uma função composta; é a base do método de integração chamado integração por substituição. Lembremos a regra da cadeia:

Integrando ambos lados dessa identidade com respeito a x e usando de novo (6.14)obtemos , que é equivalente à fórmula de integração por substituição:

Existem vários jeitos de escrever a mesma fórmula. Por exemplo, se H é primitiva de h,

Senão, a função g(x) pode ser considerada como uma nova váriavel: u:=g(x). Derivando com respeito a x, du/dx = g'(x), que pode ser simbolicamente escrita como du = g'(x)dx. Assim, a primitiva inicial pode ser escrita somente em termos da variável u, substiuindo g(x) por u:

Em seguida, se trata de calcular uma primitiva de h, e no nal voltar para a variável x. O objetivo é sempre tornar o mais próximo possível de uma primitiva elementar como as descritas no início da seção.

Exemplo 6.8. Considere . Aqui queremos usar o fato do cos x ser a derivada da função sen x. Façamos então a substituição u = sen x, que implica du = (sen x)' dx = cos x dx, o que implica

Exemplo 6.9. Para calcular , denemos u:=1+x. Logo, du = dx e x = u - 1.
Assim,

Exemplo 6.10. Calculemos agora . Para começar, separemos a primitiva em dois termos:

Para o primeiro termo, vemos que com u = g(x):= 1 - x2, cuja derivada é g'(x) = 2x, temos du = -2x dx, e

No segundo termo reconhecemos a derivada da função arcseno. Logo, somando,

No segundo termo reconhecemos a derivada da função arcseno. Logo, somando,

Observação 6.4. Lembra que um cálculo de primitiva pode sempre ser vericado,derivando o resultado obtido! Por exemplo, não perca a oportunidade de vericar que derivando o lado direito de (6.18), obtém-se

Às vezes, é preciso transformar a função integrada antes de fazer uma substituição útil, como visto nos três próximos exemplos

Exemplo 6.11. Para calcular podemos colocar 9 em evidência no denomi- nador, e em seguida fazer a substituição :

Exemplo 6.12. Para calcular comecemos completando o quadrado: . Logo, usando u:=x + 1,

Exemplo 6.13. Considere . Lembrando a identidade trigonométrica ,

A fórmula (6.19) mostra que a primitiva (ou integral indenida) de uma função da forma h(g(x))g'(x) se reduz a achar uma primitiva de h. Aquela fórmula pode também ser usada para integrais denidas: se h(g(x))g'(x) é integrada com x percorrendo o intervalo [a, b], então u = g(x) percorre o intervalo [g(a); g(b)], logo

Observação 6.5. Existem substituições que levam a funções que ainda não sabemos integrar. Considere por exemplo . Subtituindo , assim

Ou, multiplicando e dividindo por cos x,

em que u = sen x. Veremos na Seção 6.9 como calcular a primitiva .

Conteúdo gentilmente cedido por: Sacha Friedli
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