Áreas de regiões do plano

Sejam f e g duas funções denidas no mesmo intervalo [a; b], tais que g(x) ≤ f(x) para todo x ϵ [a, b]. Como calcular a área da região R contida entre os grácos das duas funções, delimitada lateralmente pelas retas verticais x = a e x = b?

Por uma translação vertical, sempre podemos supor que 0 < g < f. Logo, a área de R pode ser obtida calculando primeiro a área debaixo do gráco de f, que vale , da qual se subtrai a área debaixo do gráco de g, que vale .

Exemplo 6.5. Considere a região finita R delimitada pela parábola y = 2 - x2 e pela reta y = -x:

Pode ser vericado que os pontos de interseção entre as duas curvas são x = -1 e x = 2. Observe também que no intervalo [ 1; 2], a parábola está sempre acima da reta. Logo, por (6.13), a área de R é dada pela integral

Exemplo 6.6. Considere a área da região finita delimitada pelas curvas x = 1 - y2 e x = 5 - 5y2.

Neste caso, é mais natural expressar a área procurada como um integral com respeito a y. Como função de y, as curvas são parábolas: x = f(y) com f(y) = 5 5y2 e x = g(y) com f(y) = 1 - y2, e o gráco de f(y) está sempre acima do gráco de g(y). Logo, a área procurada é dada por , que vale

Conteúdo gentilmente cedido por: Sacha Friedli
Paginas 1

  

Mapa do site

Termos de Utilização

© 2016 Prime Consulting, SA. Todos os direitos reservados