O Teorema Fundamental do Cálculo

Suponha que se queira calcular a integral de uma função contínua f : [a, b] -> R:

Podemos supor sem perda de generalidade que f >= 0, o que deve ajudar a entender geometricamente alguns dos raciocínios a seguir. Para calcular I passaremos pelo estudo de uma função auxiliar, chamada de função área, denida da seguinte maneira:

Isto é, I(x) representa a área debaixo do gráco de f, entre as retas verticais em a (fixa) e em x(móvel). Como f é positiva, x -> I(x) é crescente. Além disso, I(a) = 0, e a integral procurada em (6.8) é I(b) I.

Exemplo 6.1. Se f(x) = mx, a função área pode ser calculada explicitamente:

Podemos observar que

A relação entre I e f é surpreendentemente simples:

Antes de começar, um desenho deve ajudar a entender a prova:

De fato, entre x e x + h, a função área I cresce de uma quantidade que pode ser aproximada, quando h > 0 é pequeno, pela área do retângulo pontilhado, cuja base é h e altura f(x). Isso sugere

Demonstração. Seja x ∈ (a, b). Provemos (6.10) (o limite h -> 0- se trata da mesma maneira). Pela propriedade (3) da Proposição 6.1

Observe também que por (6.5), f(x) pode ser escrito como a diferença Logo, (6.10) é equivalente a mostrar que

tende a zero quando h -> 0. Como f é contínua em x, sabemos que para todo , desde que t seja sucientemente perto de x. Logo, para h > 0 sucientemente pequeno, a integral em (6.11) pode ser limitada por

Isso mostra que (6.11) fica arbitrariamente pequeno quando h -> 0+, o que prova (6.10).

Assim, provamos que integral e derivada são duas noções intimamente ligadas, já que a função área é uma função derivável cuja derivada é igual a f.

Exemplo 6.2. Se f(x) = x, então F(x) = x2/2 é primitiva de f, já que

Observe que como é também primitiva de f.

Exemplo 6.3. Se f(x) = cos x, então F(x) = sen x é primitiva de f. Observe que G(x) = sen x + 14 e H(x) = sen x - 7 também são primitivas de f.

Os dois exemplos acima mostram que uma função admite infinitas primitivas, e que aparentemente duas primitivas de uma mesma função somente diferem por uma constante:

Demonstração. Dena m(x): = F(x) G(x). Por hipótese, m'(x) = 0 para todo x. Considere dois pontos x1 < x2 quaisquer. Aplicando o Corólário (5.1) a m no intervalo [x1, x2]: existe c ∈[x1, x2] tal que. Como m'(x) = 0, temos m(x2) = m(x1). Como isso pode ser feito para qualquer ponto x2 < x1, temos que m toma o mesmo valor em qualquer ponto, o que implica que é uma função constante.

Em geral, escreveremos uma primitiva genérica de f(x) como

para indicar que é sempre possível adicionar uma constante C arbitrária.

Mais tarde olharemos de mais perto o problema de calcular primitivas. Voltemos agora ao nosso problema

Demonstração. Lembre que , onde I(x) é a função área. Ora, sabemos pelo Teorema 6.2 que I(x) é primitiva de f. Assim, I(x) = F(x) + C, onde F(x) é uma primitiva qualquer de f, e onde se trata de achar o valor de C. Mas I(a) = 0 implica F(a) + C = 0, logo C = -F(a), e I(x) = F(x) - F(a). Em particular, I(b) = F(b) - F(a).

Exemplo 6.4. Considere , que representa a área debaixo do gráco da parábola y = f(x) = x2, entre x = 0 e x = 1. Como F(x) = x3/3 é primitiva de f, temos

Podemos também calcular a integral da introdução, dessa vez usando o Teorema Fundamental:

O Teorema Fundamental mostra que se uma primitiva de f é conhecida, então a integral de f em qualquer intervalo [c, d] pode ser obtida, calculando simplesmente F(d) - F(c). Isto é, o problema de calcular integral é reduzido ao de achar uma primitiva de f. Ora, calcular uma primitiva é uma operação mais complexa do que calcular uma derivada.
De fato, calcular uma derivada signica simplesmente aplicar mecanicamente as regras de derivação descritas no Capítulo 5, enquanto uma certa ingeniosidade pode ser necessária para achar uma primitiva, mesmo de uma função simples como ou ln x.

Portanto, estudaremos técnicas para calcular primitivas, ao longo do capítulo. Por enquanto, vejamos primeiro como usar integrais para calcular áreas mais gerais do plano.

Conteúdo gentilmente cedido por: Sacha Friedli
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