A integral de Riemann

De modo geral, a área da região R delimitada pelo gráco de uma função f : [a; b] -> R pode ser denida via um processo de limite, como visto acima no caso de f(x) = 1 - x2.

Primeiro, escolhemos um inteiro n, e escolhemos n pontos distintos em Em seguida, escolhemos um ponto x*j em cada intervalo e denimos a soma de Riemann 5 In por:

In aproxima a área debaixo do gráco pela soma das áreas dos retângulos, em que o j-ésimo retângulo tem como base , e como altura o valor da função no ponto . (Na imagem acima os pontos xi foram escolhidos equidistantes, )

A integral de f é obtida considerando In para uma sequência de partições em que o tamanho dos intervalos tendem a zero:

Inventada por Newton, a notação lembra que a integral é denida a partir de uma soma (o "f" é parecido com um "s") de retângulos contidos entre a e b, de áreas .

Observação 6.2. É importante lembrar que é um número, não uma função: a variável "x" que aparece em é usada somente para indicar que f está sendo integrada, com a sua variável varrendo o intervalo [a, b]. Logo, seria equivalente escrever essa integral , etc., ou simplesmente . Por isso, a variável x que aparece em (6.4) é chamada de muda.

Observação 6.3. A denição de integrabilidade faz sentido mesmo se f não é positiva. Neste caso, o termo da soma de Riemann não pode ser mais interpretado como a área do j-ésimo retângulo, e não possui necessariamente uma interpretação geométrica. O Exercício 6.6 abaixo esclarece esse ponto.

Enunciemos algumas propriedades básicas da integral, que podem ser provadas a partir da denição.

Observe que se f é uma constante, f(x) = c, então qualquer soma de Riemann pode ser calculada via um retângulo só, e

Mais tarde precisaremos da seguinte propriedade:

Para funções positivas, a interpretação de (6.6) em termos de áreas é imediata: se o gráco de f está sempre abaixo do gráco de g, então a área debaixo de f é menor do que a área abaixo de g.

Em geral, vericar se uma função é integrável pode ser difícil. O seguinte resultado garante que as maioria das funções consideradas no restante do curso são integráveis.

Por exemplo, f(x) = 1 - x2 é contínua, logo integrável, e vimos na introdução que

Sabendo que uma função contínua é integrável, queremos um jeito de calcular a sua integral. Mas como já foi dito, o procedimento de limite descrito acima (calcular a soma de Riemann, tomar o limite n→∞, etc.) é dícil de se implementar, mesmo se f é simples.

Conteúdo gentilmente cedido por: Sacha Friedli
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