Introdução

Como calcular, em geral, a area de uma regiao limitada do piano? Para sermos um pouco mais especificos, faremos a mesma pergunta para areas delimitadas pelo grafico de uma fungao. Dada uma fungao positiva f : [a, b] —> M, como calcular a area debaixo do seu grafico, isto e, a area da regiao R, delimitada pelo grafico de f, pelo eixo x, e pelas retas x = a, x = b?

Para as funções elementares a seguir, a resposta pode ser dada sem muito esforço. Por exemplo, se f é constante, f(x) = h > 0, R é um retângulo, logo

Por outro lado, se o gráco de f for uma reta, por exemplo f(x) = mx com m > 0, e se 0 < a < b, então R é um trapézio, e a sua área pode ser escrita como a diferença das áreas de dois triângulos (lembre o Exercício 2.17):

O nosso último exemplo "simples" será , com a = 0, b = 1. Neste casoreconhecemos a região R como a sendo o quarto do disco de raio 1 centrado na origem, contido no primeiro quadrante:

Consideremos agora f(x) = 1 - x2, também com a = 0, b = 1:

Apesar da função f(x) = 1 - x2 ser elementar, não vemos um jeito simples de decompor R em um número nito de regiões simples do tipo retângulo, triângulo, ou disco.

No entanto, o que pode ser feito é aproximar R por regiões mais simples, a começar com retângulos 4. Começemos aproximando R de maneira grosseira, usando uma região R2 formada por dois retângulos, da seguinte maneira:

A área de R2 é a soma das áreas dos dois retângulos de bases iguais 1/2 mas de alturas diferentes: o canto esquerdo superior do primeiro retângulo está em (0, 1), e o do segundo foi escolhido no gráco de 1 - x2, no ponto (1/2, 3/4). Logo, área(R2) = 7/8. É claro que áreaR2 somente dá uma estimativa: área(R) < áreaR2.

Tentaremos agora melhorar essa aproximação: xemos um inteiro n ∈ N, e aproximemos R pela região Rn formada pela união de n retângulos de larguras iguais a 1/n, mas com alturas escolhidas tais que o canto superior esquerdo esteja sempre na curva 1 - x2. Por exemplo, se n = 5, 15 e 25,

Vemos que quanto maior o número de retângulos n, melhor a aproximação da verdadeira área de R. Logo, tentaremos calcular área(R) via um limite:

Olhemos os retângulos de mais perto. Por exemplo, para calcular área(R5), calculemos a soma das áreas de 5 retângulos:

Observação 6.1. É interessante observar que no limite n -> ∞, o número de retângulos que aproxima R tende ao innito, mas que a área de cada um tende a zero. Assim podemos dizer, informalmente, que depois do processo de limite, a área exata de R é obtida "somando innitos retângulos de largura zero".

O método usado acima funcionou graças à fórmula (6.2), que permitiu transformar a soma dos k primeiros quadrados em um polinômio de grau 3 em k. Essa fórmula foi particularmente bem adaptada à função 1 - x2, mas não será útil em outras situações. Considere por exemplo a função f(x) = cos(x) entre a = 0 e b = π/2. Neste caso, uma aproximação da área R debaido do gráco por retângulos de largura 1/n dá:

Apesar de não existir, nesse caso, uma fórmula como (6.2) para transformar essa soma,veremos mais tarde que limn→∞ área(Rn) = 1.

Conteúdo gentilmente cedido por: Sacha Friedli
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