Mudança de base

Sejam e duas bases ordenadas de um mesmo espaço vetorial V de dimensão n. Dado V, podemos escrevê-lo como:

Devemos relacionar com

Já que é base de V, podemos escrever os vetores como combinação linear dos vetores

Substituindo (ii) na segunda equação de (i), temos:

Mas , e, como as coordenadas em relação a uma base são únicas, temos:

A matriz dos coeficientes está atuando como uma matriz de mudança de base, pois transforma o vetor em outro , numa segunda base. Assim:

Esta é a matriz de mudança de base da base β' para a base β.

Uma vez obtida , podemos encontrar as coordenadas de qualquer vetor em relação à base β multiplicando a matriz pelas coordenadas de em relação à base β' (ambas as bases supostamente conhecidas).

Observação: Note que a matriz é obtida de (ii) transpondo a matriz dos coeficientes.

Questão:

Solução 1:

i) Inicialmente, procurando , então colocamos β' em função de β:

Dessa forma,

Observação: O cálculo feito da matriz de mudança de base só é vantajoso quando se trabalha com vários vetores, para não ter que resolver um sistema de equações a cada vetor.

A inversa da matriz de mudança de base

Um fato importante é que a matriz é invertível e = . Dessa forma, podemos usá-la para encontrar pois .

Questões

1) Se , ache onde .

2) Se α é base de um espaço vetorial, qual é a matriz de mudança de base ?

3) Seja V o espaço vetorial de matrizes 2 x 2 triangulares superiores. Sejam β e β' duas bases de V tais que .

4) Uma elipse em uma base cartesiana está rotacionada em um ângulo de 45° e sua base é formada pelos vetores {(1,0); (0,1)}. Ache a matriz de mudança de base para uma nova base onde os vetores sejam respectivamente (−1,1) e (2,2).

Conteúdo gentilmente cedido por: Universidade Federal do Ceará
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