Dimensão

A dimensão de um espaço vetorial V é definida como o número de vetores de uma base de V e é denotada por dim V. Se V não possui base, dim V = 0

Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos e o número de bases para cada espaço vetorial é infinito.

Exemplo: dim R2 = 2, pois toda base do R2 tem dois vetores, como {(1,0); (0,1)} ou {(1,1); (0,1)}.

Exemplo: dim R2 = n

Exemplo: dim M(2,2)= 4

Exemplo: dim Pn = n +1 (polinomio de grau n).

Exemplo: dim = 0, pois a origem é apenas um ponto.

Observação: Quando um espaço vetorial V admite uma base finita, dizemos que V é um espaço vetorial de dimensão finita.

Teorema: Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado de modo a formar uma base de V.

Prova: Seja dimV = n e vetores LI, com i ≤ n.

Teorema: Se dimV = n, qualquer conjunto de n vetores LI formará uma base de V.

Prova: Se não formasse uma base, poderíamos completar o conjunto até formá-la e dessa forma teríamos uma base com mais do que n vetores em V, o que é um absurdo.

Teorema: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita, então dimU ≤ dimV e dimW ≤ dimV. Além disso:

Para permitir uma interpretação geométrica, consideramos o espaço tridimensional R3. A dimensão de qualquer subespaço S de R3 só poderá ser 0,1,2 ou 3. Portanto, temos os seguintes casos:

Questões

1) Ilustre com um exemplo a proposição: “se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita então ”.

2) Escreva uma base para o espaço vetorial das matrizes 2 x 2. Qual a dimensão desse espaço?

3) Resolva a questão anterior considerando o espaço das matrizes 3 x 3. E qual seria a dimensão de um espaço de matrizes n x n?

4) Seja V o espaço das matrizes 2 x 2, e seja W o subespaços gerado por


Encontre uma base e a dimensão de W.

5) Considere o subespaço de R4 gerado pelos vetores ,

a) O vetor (2,−3,2,2) pertence a [v1, v2, v3, v4]? Justifique.

b) Exiba uma base para [v1, v2, v3, v4]. Qual a dimensão?

c) [v1, v2, v3, v4] = R4 ? Por quê?

Conteúdo gentilmente cedido por: Universidade Federal do Ceará
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