Base de um espaço vetorial

Considere um espaço vetorial V. Admita a existência de um subconjunto B desse espaço (não necessariamente um subespaço) tal que B gere V por combinação linear. Notar que para um espaço particular V, B não é único, vários conjuntos B distintos podem gerar V. De fato, o próprio V pode gerar ele mesmo. Porém, é mais simples trabalhar com conjuntos menores, e é de interesse resumir um grande conjunto V em um pequeno conjunto B. Foi verificado acima que dentro de B quaisquer elementos formados por combinações lineares dos outros são “inúteis”. Ou seja, se B for um conjunto LD, existe pelo menos um vetor “inútil”, que pode ser eliminado para tornar B menor e mais simples. O processo pode continuar até que B se torne LI. Se B é LI, e ainda onsegue gerar V (Lembre-se que a eliminação de elementos LD de um conjunto gerador não modifica o conjunto gerado) é denominado base.

Uma base de um espaço vetorial é um conjunto LI gerador deste espaço. É também a maneira mais simples de “resumir” o espaço.

Condições:

i) {} é LI.

ii) {} = V (O conjunto gera V) Atenção! Todo conjunto LI de um vetorial V é base de um subespaço gerado por ele.

Exemplo: Prove que B = {(1,1), ( 1,0)} é base de R2

Solução:

Exemplo: Prove que {(0,1), (0,2)} Não é base de R2

Solução:

Mas como a e b não são necessariamente zero, o conjunto é LD.

Exemplo: {(1,0,0), (0,1,0)} não é base de R3. É LI, mas não gera todo R3, isto é, [{(1,0,0), (0,1,0)] ≠ R3

Como o R3 não é composto apenas de pontos com a coordenada z nula, os dois vetores não podem ser base.

Exemplo: é uma base de V.

Observação: Existem espaços que não tem base finita, principalmente quando trabalhamos com espaços de funções. Então, precisaremos de um conjunto infinito de vetores para gerar o espaço. Isto não implica que estamos trabalhando com combinações lineares infinitas, mas sim, que cada vetor do espaço é uma combinação linear finita daquela “base infinita”. Ou seja, para cada vetor dado, podemos escolher uma quantidade finita de vetores da base para escrevê-lo. Por exemplo, o conjunto de todos polinômios de coeficientes reais formam um espaço vetorial. Uma base naturalmente definida é {1, x, x2, x3, ...}, que é infinita, pois não há restrição para o grau do polinômio. Porém, para formar um polinômio particular é possível utilizar um número finito de elementos da base.

Teorema: Sejam vetores não nulos que geram um espaço vetorial V. Dentre estes vetores podemos extrair uma base de V.

Prova:

i) Se são LI, eles cumprem as condições para uma base e não temos mais nada a fazer.

ii) Se são LD, então existe uma combinação linear deles com algum coeficiente diferente de zero, dando o vetor nulo:

Por exemplo, seja xu ≠ 0, então:

Ou seja, é uma combinação linear de e, portanto ainda geram V. Se ainda for LD, podemos prosseguir da mesma forma até chegar a um subconjunto com r ≤ n que ainda geram V, ou seja, formaremos uma base.

Isto é, de um espaço gerador qualquer é possível retirar elementos “inúteis” até que ele se torne uma base. Veremos agora uma propriedade curiosa dos espaços vetoriais: o número de elementos de qualquer base de um espaço vetorial particular é constante, independe da base escolhida. Este número é uma propriedade inerente à natureza do espaço.

Teorema: Seja um espaço vetorial V gerado por um conjunto de vetores Então, qualquer conjunto LI tem no máximo "n" vetores.

Prova: Como [] = V, então podemos extrair uma base para V. Seja com r ≤ n, esta base. Considere agora , m vetores de V, com m > n.

Então, existem constantes tais que:

Consideremos agora uma função linear de dando zero:

Substituindo (i) em (ii), temos:

Como são LI, então os coeficientes dessa equação devem ser nulos:

Temos então um sistema linear homogêneo com r equações e m incógnitas x1, ...,xm e, como r ≤ n< m, ele admite uma solução não trivial, ou seja, existe uma solução com algum xi não nulo. Portanto são LD.

Questões

1) Quais são as coordenadas de x = (1,0,0) em relação à base β = {(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1)}?

Conteúdo gentilmente cedido por: Universidade Federal do Ceará
Paginas 1

  

Mapa do site

Termos de Utilização

© 2016 Prime Consulting, SA. Todos os direitos reservados