Subespaços gerados

Um conjunto de vetores {} pode construir vetores por meio de combinação linear. Fazendo todas as combinações possíveis (isto é, fazendo cada escalar ter todos os valores reais possíveis), o conjunto constrói uma infinidade de vetores que compõem um conjunto expandido. Esse conjunto é um subespaço vetorial. O conjunto {} é chamado de conjunto de vetores de base, pois, em termos formais, ele gerou o subespaço W, definido abaixo.

Definição: Um subespaço gerado por um conjunto de vetores B = {} é o conjunto de todos os vetores V que são combinações lineares dos vetores {} ∈ V.
.

Obs.: A notação de colchetes informa que o conjunto W é o conjunto gerado por {}. Não confundir com o próprio conjunto gerador . Ou seja, [, ] é um conjunto com infinitos vetores formados da combinação destes dois e {, } é um conjunto com apenas dois vetores.

Exemplo: Seja V = R3 e V (sendo ), então é a reta que contém o vetor , pois é o conjunto de todos os vetores com a mesma direção de que tem origem em (0,0).

Exemplo: Se [ e ] ∈ R3 são tais que qualquer que seja α ∈ R, então [, ] será o plano que passa pela origem e contém e :

A condição é importante para garantir que os dois vetores gerem um plano. Caso ela não seja satisfeita, os vetores e seriam colineares, e não existira nenhuma combinação deles que pudesse gerar um vetor que não pertencesse à reta que eles geram.

Nota-se que um conjunto gerador de dois elementos que um é combinação linear do outro equivale a um conjunto gerador com apenas um desses dois elementos. Assim, se 3 ∈ [, ], então , pois todo vetor que pode ser escrito como combinação linear de é uma combinação linear apenas de e , já que é combinação linear de e .

Exemplificando:

Seja: B = {} tal que

Um elemento qualquer do conjunto gerado por B é da forma:

Observa-se que se em um conjunto gerador existir algum vetor que é combinação linear de outros elementos do próprio conjunto gerador, esse elemento é inútil. Eliminá-lo do conjunto gerador não modifica o conjunto gerado. Tal propriedade pode ser verificada lembrando que a combinação linear é uma soma de vetores, e que a parcela da soma do vetor que é gerado por outros pode ser substituída pelos próprios vetores que o geram. Assim, qualquer elemento do conjunto gerado por B pode ser escrito como combinação linear de apenas e . Surge então a necessidade de verificar quando um vetor é combinação linear de outros.

Questões

1) Quais dos seguintes conjuntos de vetores é um conjunto gerador de R4?

2) Resolva o seguinte sistema, usando a Regra de Cramer:

Conteúdo gentilmente cedido por: Universidade Federal do Ceará
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