Combinação linear

Considere um conjunto de vetores qualquer, pertencente a um espaço vetorial V. Já foi mostrado que somar estes vetores entre si em qualquer combinação resultará em um vetor pertencente a V. Também foi mostrado que multiplicar cada vetor por um escalar também gera um resultado pertencente a V, caso contrário V não seria um espaço vetorial.
De fato, sejam e sejam os escalares a1, a2, ... , anR. Então qualquer vetor da forma

é um elemento do mesmo espaço vetorial V.
Por ter sido gerado pelos vetores primitivos , o vetor é denominado o resultado de uma combinação linear de .
O conjunto de escalares {a1,..., an} é arbitrário, mas sendo um conjunto de números reais, o vetor sempre pertencerá a V. O vetor não é único, pois para cada combinação de escalares pode gerar um vetor diferente.

Exemplo: O vetor = (−4,−18,7) é combinação linear dos vetores = 1,−3,2 e = (2,4,−1), já que pode ser escrito como .

Questões

1) Quais dos seguintes vetores são combinação linear de x1, x2 e x3?

2) Escreva E como combinação linear de , onde:

3) Considere os vetores u = (1,−3,2) e v = (2,−1,1) em R3.

a) Escreva (1, 7, −4) como combinação linear de u e v.

a) Escreva (2, -5.4) como combinação linear de u e v.

c) Para que valor de k o vetor (1, k, 5) é uma combinação linear de u e v?

d) Procure uma condição para a, b e c de modo que (a, b, c) seja combinação linear de u e v.

4) Determinar o valor de k para que o vetor u = (−1, k,−7) seja combinação linear de v1 = (1, 3, 2) e v2 = (2, 4, 1).

Conteúdo gentilmente cedido por: Universidade Federal do Ceará
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