Interseção, união e soma de subespaços

Interseção

Dados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V, a interseção W1 ∩ W2 sempre será subespaço de V.

Prova: Inicialmente observamos que W1 ∩ W2nunca é vazio, pois ambos contêm o vetor nulo de V. Assim, basta verificar as condições de soma e produto por escalar apresentadas anteriormente para os subespaços. Suponha então e ∈ W1 ∩ W2.

  • W1 é subespaço <=>
  • W2 é subespaço<=> , deste modo =>

Exemplo: Seja V = R3, W1 ∩ W2 é a reta de interseção dos planos W1 e W2.

Exemplo:

Seja: , então W1 ∩ W2 = {Matrizes Diagonais}.


Soma

Podemos construir um conjunto que contenha W1 e W2 e ainda é subespaço de V. Este conjunto será formado por todos os vetores de V que forem a soma de vetores de W1 com vetores de W2.

Prova:

Dados:

Temos que:

Caso os dois subespaços sejam retas não-colineares, a soma deles equivale ao plano formado por elas. Se as parcelas W1 e W2 têm interseçãoW1 ∩ 2 = {}, a soma W1 + W2é dita soma direta e é denotada por W2 W2.

Exemplo: Seja W1 = e W2 = , onde a, b, c, d ∈ R, então W1 + W2 = = M(2,2).
Esta é uma soma direta, pois W1 ∩ W2 = = .


União

A união de dois subespaços W1 e W2, diferente da soma, é um conjunto que contém exatamente todos os elementos de W1 e de W2. Deste modo, nem sempre a união de subespaços é um subespaço.

Exemplo:

W1 e W2 são retas que passam pela origem. Assim, W1 ∩ W2 = {0} e W1 ∪ W2 é o feixe formado pelas duas retas, que não é subespaço vetorial de R3. De fato, se somarmos os dois vetores e , vemos que + está no plano que contém W1 e W2, mas + W1 ∪ W2.

Questões

1) Sejam subespaços de R4.

a) Determine W1 ∩ W2

b) Exiba uma base para W1 ∩ W2

c) Determine W1 + W2

d) W1 + W2 é soma direta? Justifique.

e) W1 + W2 = R4?

Conteúdo gentilmente cedido por: Universidade Federal do Ceará
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