Subespaços vetoriais

Dado um espaço vetorial V, há subconjuntos de V tais que eles próprios também são espaços vetoriais, só que menores. Esses subconjuntos são chamados de subespaços de V. Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não-vazio, será um subespaço vetorial de V se forem válidas as mesmas duas operações de antes:

  • Soma:, então ;
  • Produto por escalar: se α é escalar e V, então aV.

Se ambas as operações forem válidas em W, não é necessário verificar as oito propriedades dos vetores para dizer que W é espaço vetorial, pois elas já são válidas em V, que contém W.

Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços (que são chamados triviais):

1. O conjunto formado somente pelo vetor nulo (a origem).

2. O próprio espaço vetorial: V é subconjunto de si mesmo.

Todo subespaço vetorial tem como elemento o vetor nulo, pois ele é necessário à condição de multiplicação por escalar: quando .

Para conferirmos se um subconjunto W é subespaço, basta verificar que v + αuW, para quaisquer V e qualquer α ∈ R, em vez de checar as duas operações separadamente.

Exemplo: Em R3, os únicos subespaços são a origem, as retas e os planos que passam pela origem e o próprio R3.

Exemplo: Seja V = M(3,3), ou seja, o conjunto das matrizes de ordem 3, e W o subconjunto das matrizes triangulares superiores. W é subespaço de V?

Solução:

Está implícito que V é um espaço vetorial. Assim, verificamos as duas operações para W:


Logo, W é subespaço de V.

Observação: as matrizes triangulares inferiores formam um conjunto que também é subespaço, o que também é o caso das matrizes diagonais e das simétricas.

Exemplo: Verifique se o conjunto-solução do sistema linear homogêneo abaixo é um subespaço de V = M(3,1).

Solução: Temos o seguinte sistema:

Desta forma, estamos procurando, dentro do espaço vetorial M(3,1), os vetores que satisfazem o sistema, isto é, o conjunto dos vetores-solução. Depois precisamos saber se esse conjunto é subespaço de M(3,1).

Assim, considere os vetores-solução:

O resultado de (i) e (ii) ainda pertence ao conjunto dos vetores-solução e, portanto, ele é subespaço de M(3,1).

Exemplo: Seja V = R2 e W = {( x, x2)/ x ∈ R}. Verifique se W é subespaço de V.
Solução: Se escolhermos = (1,1) e = (2,4), temos + = (3,5) W. Logo, W não é subespaço.

Exemplo: Seja V = M ( n, n) e W o subconjunto de todas as matrizes em que a11 < 0. Verifique se W é subespaço de V.

Solução:

i) A condição de soma é satisfeita, pois ainda gera uma matriz em que a11 < 0.

ii) Se fizermos αM, com α < 0, temos que a11 da nova matriz será maior que zero. Assim, W não é subespaço.

Exemplo: Verifique se o conjunto solução do sistema linear não-homogêneo abaixo é um subespaço.

Solução:
Temos o seguinte sistema: e os seguintes vetores-solução:.

Assim:

O vetor dos termos independentes resultante é diferente do vetor do sistema linear .

Logo, o conjunto dos vetores-solução não é um subespaço de M(3,1).

Exemplo: Seja S = {(x1, x2)/ x2 = 2x1}. Sendo S subconjunto de R2, verifique se S é subespaço de R2.

Solução:

Exemplo: Verifique se é subespaço de R2.

Solução:

i) . Como (0,0) W, pode-se concluir que o subconjunto W não é um subespaço vetorial de R3.

Exemplo: Verifique se é subespaço de R3.

Solução:

. Tomando y = 0 e z = 0 temos (6,0,0). Como (0,0,0) W, então W não é um subespaço vetorial de R3.

Questões

1) Mostre que os seguintes subconjuntos de R4 são subespaços

2) Considere o subespaço S = [(1, 1, -2, 4), (1, 1, -1, 2), (1, 4, -4, 8)] de R4.

a) O vetor ( 2/3, 1, -1, 2) pertence a S?

b) O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S?

3) Nos problemas que seguem, determine se W é ou não um subespaço do espaço vetorial:

a) V = R3, W1 plano x0y,

b)

4) Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de R3 ?

5) Determine se W é subespaço de R3 ou não, onde W consiste nos vetores (a, b, c) ∈ R3 para os quais:

6) Seja W o conjunto de todos os vetores em R4 de forma (x, x+y, y, 2x + 3y), onde x, y ∈ R. W é um subespaço de R4?

7) Seja W o conjunto de todos os vetores do R3 da forma (x, y, x2 + y2), onde x, y ∈ R.

W é um subespaço de R3?

8) Seja W o conjunto de todos os vetores R4 da forma (x, y, x+1, 2x + y – 3), onde x, y ∈ R.

W é um subespaço de R4?

9) Dados os conjuntos W em cada espaço vetorial V indicado proceda assim:

i) Reescreva W apresentando seu vetor genérico;

ii) Verifique se W é subespaço vetorial de V.

10) Considere o subespaço de R3 gerado pelos vetores v1=(1,1,0), v2=(1,-1,1) e v3=(1,1,1). O espaço gerado por esses vetores é igual ao R3? Por quê?

Conteúdo gentilmente cedido por: Universidade Federal do Ceará
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