Espaços vetoriais

Um espaço vetorial é um conjunto de vetores. As oito propriedades citadas acima devem ser satisfeitas, além de duas operações: soma e multiplicação por escalar. Considerando dois vetores quaisquer de um espaço vetorial V, a soma deles deve ser um terceiro vetor que ainda faz parte de V. Se multiplicarmos um vetor de V por um escalar, o resultante também deve ser elemento de V.
Em resumo, um espaço vetorial real é um conjunto V, não vazio, com duas operações:

  • Soma:
  • Produto por escalar: => Se α é escalar e , então

Se uma dessas duas operações não for válida para um conjunto W, então é porque o conjunto não é um espaço vetorial. Dizemos que um espaço vetorial é fechado em relação às duas operações (soma e multiplicação por escalar). Para saber se um conjunto é um espaço vetorial, verifica-se se as duas operações são válidas e depois se as oito propriedades dos vetores também são válidas.

Observação: O conjunto de todas as matrizes de ordem 2 é um espaço vetorial. Deste modo, os vetores desse espaço são matrizes 2x2.Tal conjunto é designado assim: V = M (2,2).

Exemplo: Seja o conjunto W = {( a, 1) /a ∈ R}. Com as duas operações de soma e multiplicação por escalar definidas, verifique se W é um espaço vetorial.

Solução: Considere os elementos 3,1 e (5,1) ∈ W.
Assim,

i) Soma: 3,1 + 5,1 = (8,2) não pertence a W.

Produto: α(3, 1) = (3α, α) não pertence a W ≠ 1, assim não é válido para todo α Logo, W não é um conjunto fechado em relação a essas duas operações e, portanto, não é um espaço vetorial.

Exemplo: Verifique se o conjunto R3 é um espaço vetorial.

Solução: Sejam vetores de R3 e α, β ∈ R.

i) Soma: R3

Multiplicação por escalar: R3

ii)

Exemplo: Considere em V = R2 o produto por escalar usual, mas com a adição, a operação definida por: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + 2y2). Determine se V, com essas operações, é um espaço vetorial.

Solução:

i)

  1. (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + 2y2) ∈ V
  2. Produto por escalar: ∈ V Logo, V é um espaço fechado em relação a essas duas operações. Portanto, temos que verificar as oito propriedades.

ii)

  1. Associativa na adição:

Como já não é satisfeita, não precisamos mais testar as outras propriedades. V não é espaço vetorial.

Exemplo: O conjunto que contém um único objeto, com as operações definidas por:

Solução:

i) Da própria definição no enunciado, o conjunto é fechado em relação às operações de soma e multiplicação por escalar e, portanto, não precisamos verificá-las;

ii) Substituindo objeto por

Questões

1) Verifique que M(2,2) = é um espaço vetorial com as operações.

2) Seja F o conjunto de todas as funções reais, de variável real, ou seja . O vetor soma f + g, para quaisquer funções f e g em F é definido por:

e para qualquer escalar rR e qualquer fF o produto rf é tal que:

Mostre que F, com essas operações, é um espaço vetorial.

Conteúdo gentilmente cedido por: Universidade Federal do Ceará
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