Operações com vetores

Módulo

seja A = (a1, a2, ... , an) ∈ Rn, definimos o módulo ou a norma de um vetor como sendo:

Observação: para n = 1, 2, 3, note que o módulo de um vetor é o seu comprimento. Chamaremos de vetor unitário todo vetor cuja norma é 1.

Produto escalar (ou produto interno)

Sejam A = (a1, a2, ... , an) e B = (b1, b2, ... , bn) dois vetores não nulos nos reais. Considere os vetores A + B e A - B.

Temos que A B se, e somente se |A + B| = |A - B|, pois as diagonais de um paralelogramo só são iguais se o paralelogramo é um retângulo. Como consequência dessa condição podemos observar que:

Esta condição é necessária para que dois vetores sejam perpendiculares.

Sejam A = (a1, a2, ... , an) e B = (b1, b2, ... , bn) dois vetores quaisquer em Rn. O produto escalar é definido como a multiplicação termo a termo e a soma dos produtos:

Assim, dois vetores não nulos A e B em Rn são perpendiculares apenas se A . B = 0

Propriedades do produto escalar:

i. A . B = B . A, para quaisquer A, B ∈ Rn

ii. A . (B + C) = A . B + A . C, para quaisquer A, B, C ∈ Rn

iii. , para quaisquer A, B ∈ Rn e qualquer ∈ R

iv. A .A ≥ 0, para qualquer A ∈ Rn e A . A = 0 <=> A = 0

A norma (ou módulo) de um vetor pode ser caracterizada pelo produto escalar: , como é provado a seguir:

Produto vetorial (ou produto externo)

Consideremos dois vetores em A = (a1, a2, ... , an) e B = (b1, b2, ... , bn) . Queremos encontrar um vetor C, em R3, de preferência não nulo, de tal forma que C seja simultaneamente perpendicular a A e a B.

Devemos ter C . A = 0 e C . B =0. Se C = (x, y, z), então:

Tentaremos resolver este sistema. Para isso, começaremos multiplicando a primeira equação por b2, a segunda por −a2 e, em seguida, somaremos as duas equações.

A seguinte equação é obtida:

Depois, multiplicando a primeira equação do sistema acima por - b1, a segunda por a1 e, em seguida, somando as duas equações, chegamos a:

Enfim, temos as seguintes equações:

Agora fica fácil visualizar os valores das variáveis. Se x assumir o valor do coeficiente de z na primeira equação, y assumi o valor do coeficiente de z na segunda equação, basta que z assuma o valor dos coeficientes de x e de y (que são iguais) para as equações serem verdadeiras. O conjunto-solução é:

Há mais soluções do sistema. Contudo, esta é especialmente chamada de produto vetorial de A por B e será denotado por A x B.

Note que A x B é o determinante formal:

em que

Observe ainda que: , visto que cada gerador (pois temos os três vetores que formam a base de R3) está num eixo diferente, x, y ou z.

Nós o chamamos de determinante formal uma vez que não é um determinante formado só por números. A primeira linha é constituída de vetores.

Como vimos, o produto vetorial de dois vetores já surgiu com uma propriedade importante: é um vetor simultaneamente perpendicular aos dois vetores. Vejamos a seguir mais propriedades do produto vetorial:


Questões

1) Ache dois vetores mutuamente ortogonais e ortogonais ao vetor (5, 2, -1).

2) Calcule u . u, onde:

3) Sejam u = (1, −2.5), v = (3, 1,−2). Encontre:

4) Ache dois vetores mutuamente ortogonais de comprimento unitário, e ambos ortogonais ao vetor (2,- 1,3).

5) Determine o número real positivo c de maneira que os pontos (−1,1, c) e (−1,1,−c) e a origem sejam vértices de um triângulo retângulo em (0,0,0).

6) Sabendo que o ângulo entre os vetores (2, 1,-1) e (1,-1,m+2) é 60°, determine m.

7) Determine os ângulos do triângulo cujos vértices são (-1,-2,4), (-4,-2,0) e (3,-2,1).

Conteúdo gentilmente cedido por: Universidade Federal do Ceará
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