Vetores

Um vetor é definido por três características: intensidade, direção e sentido. Força, deslocamento e velocidade são representados por vetores, mas um vetor pode ser bem mais do que isso. Ao longo do curso de Álgebra Linear, o seu conceito será desenvolvido de forma bem mais ampla. Soluções de sistemas lineares poderão, por exemplo, ser representadas por vetores.
Desenhando um vetor no plano cartesiano, ele deve apresentar uma origem e uma extremidade. Os segmentos orientados cuja origem é o ponto (0,0) são chamados de vetores no plano, e são muito mais fáceis de trabalhar. Para representá-lo, basta indicar o par ordenado que corresponda à sua extremidade, pois já conhecemos seu ponto inicial. A definição segue para vetores no espaço, caso em que a origem dos vetores é o ponto (0,0,0), e assim por diante.

De tal forma, para representar um vetor com ponto inicial na origem, usa-se usualmente a notação de coordenadas V = (a, b, c), mas também existe a notação de matriz coluna V = e matriz linha V = [a b c] .

Com essas notações, a soma de vetores e a multiplicação do vetor por um escalar são operações que ficam bem mais simples.

Adição de Vetores

Propriedade:

  • Associatividade:
  • Comutatividade:
  • Elemento neutro:
  • Seja O o vetor nulo. Então A + O = A, para qualquer A ∈ Rn. Assim, O é o elemento neutro em relação à operação de adição, o qual chamaremos de elemento nulo de Rn.O Elemento oposto:
  • Elemento oposto
  • Dado A = (a1, a2, ... , an), denotaremos por – A o vetor (−a1, −a2, ... , −an). Então A + (−A) = O. Chamaremos (−A) de elemento oposto a A.
  • Considerando que: A − B = A + −B e as quatro propriedades anteriores, teremos três propriedades conseqüentes:

Exemplo:

Sendo , temos:

Do mesmo modo, .

Multiplicação por escalar

Sejam A = (a1, a2, ... , an) ∈ Rn e λ ∈ R. Definimos a multiplicação de A por λ como sendo:

A seguir as propriedades de vetores:

  1. Associativa na adição:
  2. Comutativa:
  3. Existência de elemento neutro na adição:
  4. Existência de elemento oposto:
  5. Distributiva por vetor:
  6. Distributiva por escalar:
  7. Existência de elemento neutro na multiplicação:

Questões

1) Determine o vetor X, tal que 3X -2X = 15.(X - U) , para vetores V e U dados. 2) Determine os vetores X e Y, tal que 6X - 2X = U e 3X + Y = U + V para vetores V e U dados.

Conteúdo gentilmente cedido por: Universidade Federal do Ceará
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