Sistemas Lineares

  • Definição 1: Seja n um inteiro positivo. Chama-se equação linear a n incógnitas toda equação do tipo a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b em que a1, a2, ..., an, b são constantes reais e x1, x2, ..., xn são incógnitas. Chamamos cada a1 de coeficiente de x1 e b de termo independente da equação.
  • Definição 2:Sejam m e n inteiros positivos. Chama-se sistema linear a m equações e n incógnitas todo sistema com m equações lineares, todas às mesmas n incógnitas. Denotaremos o sistema citado como se segue:

Chama-se solução do sistema toda lista ordenada (x1, x2, ..., xn) de números reais que satisfaz a todas as equações do sistema linear e chama-se conjunto solução do sistema o conjunto constituído de todas as soluções.

Dizemos que o sistema linear é, respectivamente, impossível, possível determinado ou possível indeterminado conforme seu conjunto solução seja vazio, unitário ou tenha pelo menos dois elementos.

3.1. Método do escalonamento

O método do escalonamento consiste em transformar uma matriz qualquer em uma matriz na forma escada através de operações elementares com linhas. O objetivo disso é resolver sistemas lineares. Para tanto, devemos saber que cada sistema linear tem duas matrizes correspondentes: uma chamada matriz dos coeficientes ou matriz incompleta do sistema e outra chamada matriz completa do sistema.

Listemos a seguir as matrizes referentes a um sistema genérico:

Matriz incompleta

Matriz completa

Se A é a matriz dos coeficientes, X = e B = , então o sistema pode ser representado (matricialmente) pelas seguintes equações:

O método do escalonamento para resolver um sistema linear cuja matriz completa é C consiste em encontrar uma matriz C’, tal que C’ seja linha-equivalente a C e o sistema cuja matriz é C’ já explicite o seu conjunto solução. Para tanto, essa matriz deverá estar na forma escada.

Exemplo: Resolvamos o sistema ,que tem a seguinte matriz completa;

Devemos operar essa matriz com linhas, de maneira a deixar a matriz dos coeficientes na forma escada.

Assim, o sistema inicial é equivalente a . Portanto, está resolvido.


Observações:

  • Um sistema linear AX = B chama-se homogêneo se B = O. Isto é, se todos os termos independentes são nulos. Neste caso, uma solução óbvia é a trivial, composta apenas de zeros. (Por exemplo, para n = 3, a solução trivial é (0,0,0).)
  • Se, num sistema linear homogêneo, o número de incógnitas é maior do que o número de equações, ele admite solução não trivial.
  • Se m = n, então o sistema linear AX = B tem uma única solução, então A é linha equivalente a In.
  • Se m = n, então o sistema linear AX = B tem uma única solução, então A é linha-equivalente a In.

3.2. Regra de Cramer

A regra de Cramer é utilizada para a resolução de um sistema linear a partir do cálculo de determinantes. Vamos considerar aqui um sistema linear Ax = B, sendo x uma matriz de incógnitas.

Seja A uma matriz invertível n x n e seja Bn. Seja Ai a matriz obtida substituindo a i-ésima coluna de A por B. Se x for a única solução de Ax = B, então

Com i variando até n, é possível encontrar as matrizes-solução do sistema, e descobrir se ele é possível determinado (quando há somente uma matriz-solução), possível indeterminado (infinitas matrizes-solução) ou impossível (nenhuma solução).

Exemplo: Considerando o sistema de equações:

Solução:

Então temos como solução a matriz x = e o sistema é possível determinado.


3.3. Questões

1) Determine os valores de k tais que o sistema nas incógnitas x, y e z tenha: (i) única solução, (ii) nenhuma solução, (iii) mais de uma solução.

a)

b)

2) Ache as soluções dos problemas dados ou prove que não existem soluções

c)

d)

e)

f)

3) Dado o sistema:

a) Encontre uma solução dele sem resolvê-lo (atribua valores para x, y, z e w).

b) Resolva efetivamente o sistema, isto é, encontre sua matriz-solução.

c) Resolva também o sistema homogêneo associado.

d) Verifique que toda matriz-solução obtida em (b) é a soma de uma matriz-solução encontrada em (c) com a solução particular que você encontrou em (a).

4) Dado o sistema linear:

a) Discuta a solução do sistema.

b) Acrescente a equação 2z + kw = 9 a este sistema, encontre um valor de k que torne o sistema impossível.

5) Dê o conjunto solução do seguinte sistema linear:

Conteúdo gentilmente cedido por: Universidade Federal do Ceará
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