Determinantes

Determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um escalar. Seu cálculo é feito somando os termos ligados pelas diagonais paralelas à diagonal principal, e subtraindo deste valor a soma dos produtos dos termos ligados pelas setas paralelas à diagonal secundária:

Temos que:

Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem n, e x um escalar qualquer, essas são algumas das propriedades dos seus determinantes:

  • det(x . A) = xn . det A
  • det A = det(At)
  • Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante desta matriz será zero.
  • Se A tem duas filas iguais, então detA = 0
  • Se permutarmos duas linhas ou colunas de A, então o determinante muda de sinal.
  • Se A e B são matriz quadradas da mesma ordem, então det AB = detA . detB

Observação 1: O determinante de uma matriz triangular ou diagonal é o produto dos termos de sua diagonal principal.

Observação 2: O determinante permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.

A. A-1 = I, aplicando determinante dos dois lados, temos:

Assim, se o determinante da matriz A for nulo, a matriz inversa não pode existir.

2.1 Regra de Chió

Através dessa regra é possível diminuir de n para (n - 1) a ordem de uma matriz quadrada A sem alterar o valor do seu determinante.

A regra prática de Chió consiste em:

1) Escolher um elemento aij = 1 (caso não exista, aplicar as propriedades para que apareça o elemento 1).
2) Suprimir a linha i e a coluna j do elemento aij = 1, obtendo-se o menor complementar do referido elemento.
3) Subtrair de cada elemento do menor complementar obtido o produto dos elementos que ficam nos pés das perpendiculares traçadas do elemento considerado às filas suprimidas.
4) Multiplicar o determinante obtido no item anterior por (-1)i+j onde i e j designam as ordens da linha e da coluna às quais pertence o elemento aij = 1 do primeiro item.

Exemplo:

2.2. Teorema de Laplace

Chama-se de menor complementar (Dij) de um elemento aij de uma matriz quadrada A o determinante que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz.

Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem a seguir:

A = , podemos escrever:

D23 = menor complementar do elemento a23 = 9 da matriz A. Pela definição, D23 será igual ao determinante que se obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja:

Chama-se de cofator de um elemento aij de uma matriz o seguinte produto:

Assim, por exemplo, o cofator do elemento a23 = 9 da matriz do exemplo anterior é igual a:

Observações sobre o teorema:

  • O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.
  • Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já conhecemos as regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só recorremos à este teorema para o cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. Seu uso possibilita diminuir a ordem do determinante. Assim, para o cálculo de um determinante de 4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo de quatro determinantes de 3ª ordem.
  • Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha ou coluna) que contenha mais zeros, para que seu produto seja nulo.

2.3. Questões

  1. Dadas as matrizes A = e B = , calcule:

    a) detA +detB

    b) det(A + B)

  2. Sejam A e B matrizes do tipo n x n. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas:

    a) det(AB) = det(BA)

    b) det A’ = det A

    c) det(2A) = 2 det A

    d) det(A2) = (det A)2

  3. a) A=

    b) A=

  4. Prove que:
  5. Mostre que det
  6. Verdadeiro ou falso?

    a) Se det A = 1, então A-1 = A.

    b) Se A é uma matriz triangular superior e A-1 existe, então também A-1 será uma matriz triangular superior.

    c) Se A é uma matriz escalar n x n da forma kIn, então det A = kn.

    d) Se A é uma matriz triangular, então det A = a11+. . .+ann.

  7. Calcule .
  8. Mostre que = 0.

Conteúdo gentilmente cedido por: Universidade Federal do Ceará
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