Matrizes

Sejam m e n inteiros positivos. Chama-se matriz m x n (sobre R) qualquer lista ordenada de m-n numeros reais, dispostos em m linhas e n colunas. Os numeros que constituem uma matriz sao chamados de termos da matriz.

Uma matriz A, m X n, pode ser denotada como se segue:

Ou, simplesmente, A = (a^), onde 1< i < m e 1< j < n. Notamos que os indices i e j indicam a posigao que o termo ocupa na matriz. O termo a^ esta na i-esima linha e na j-esima coluna.

Seja A = (aij) uma matriz n x n. Chama-se diagonal principal, ou simplesmente diagonal da matriz A, a lista ordenada (an, a22, ..., ann). Chama-se diagonal secundaria da matriz A, a lista ordenada (aln, a2(n-1), an1). A soma dos indices dos termos da diagonal secundaria e sempre igual a n+1.


Igualdade de Matrizes:

Sendo A = (a^), e B = (by), matrizes, A e B sao iguais, se e somente se, a^ = b^ para quaisquer valores de i e de j.


Tipos de Matrizes:

Chama-se matriz linha toda matriz 1 x n, ou seja, toda matriz constitufda de uma so linha.

O chama-se matriz coluna toda matriz m x 1, ou seja, toda matriz constitufda de uma so coluna.

- Chama-se matriz nula aquela cujos termos sao todos nulos.

- Uma matriz m x n chama-se quadrada se m = n.

- Uma matriz quadrada A = (aij) chama-se triangular superior se todos os termos que ficam abaixo da diagonal principal sao iguais a zero, ou seja, aij= 0 sempre que i > j.

- O uma matriz quadrada A = (aij) chama-se triangular inferior se todos os termos que ficam acima da diagonal principal sao iguais a zero, ou seja, = 0 sempre que i < j.

- O uma matriz quadrada A = (aij) chama-se diagonal se todos os termos fora da diagonal principal sao iguais a zero, ou seja, aij = 0 sempre que i diferente j.

- Chama-se matriz identidade n x n a matriz diagonal n x n cujos termos da diagonal principalsao todos iguais a 1. Ela e denotada por In ou simplesmente por I.

- Uma matriz quadrada A = (aij) chama-se simetrica se aij =para quaisquer que sejam i e j, isto e, se os termos simetricamente situados em relagao a diagonal principal sao iguais.

Exemplos: ,In toda matriz diagonal.

- Uma matriz quadrada A = (aij) chama-se anti-simetrica se aij = -aij para quaisquer que sejam i e j, ou seja, se os termos simetricamente situados em relagao a diagonal principal sao numeros reais simetricos e os termos da diagonal sao todos nulos.

Exemplos: matriz quadrada nula.

Operações com matrizes

Adição de Matrizes:

Sejam A = (aij), e B = (bij) matrizes m x n. Definimos a soma das matrizes A e B como sendo a matriz A + B = (cij), em que cij= aij + bij. Ou seja, somar A com B consiste em somar termos correspondentes.

Propriedades (1): Para quaisquer matrizes m x n, A=(aij), B = (bij) e C = (cij), as seguintes propriedades sao válidas:

* Associatividade: A + (B + C) = (A + B) + C;

* Comutatividade: A + B = B + A;

* Elemento neutro: A + O = A, onde O e a matriz m x n nula;

* Matriz oposta: A + (-A) = O, onde —A = (aij). Chamamos (-A) de matriz oposta de A;

* Multiplicagao de um escalar por uma matriz: Sejam uma matriz m x n. Definimos o produto da matriz A pelo escalar x como x. A = (x. aij). Isto e, multiplicar x por A consiste em multiplicar x por todos os termos de A.

Propriedades (2): Para quaisquer que sejam as matrizes m X n, A = (aij) B = (bij) e os numeros reais x e y, valem as seguintes propriedades:

* x.(A + B) = x.A + x.B (Distributiva para escalar)

* (x + y).A = x.A + y.A (Distributiva para matrizes)

* x.(y.A) = (xy).A (Associativa)

* 1.A = A (1 e o escalar que representa o elemento neutro dessa operação)


Multiplicação de Matrizes:

Seja A = (aij) uma matriz m X n. Denotaremos por Ai a i-esima linha de A e Aj a j-esima coluna de A. Isto e:

Sejam A = (aj) uma matriz m x n e B = (bjk ) uma matriz n x p. Definimos o produto da matriz A pela matriz B como

Observagao 1: O produto A.B e uma matriz m x p;

Observagao 2: O termo de A.B que se situa na i-esima linha e na j-esima coluna e Ai. B k.

Observagao 3: Quando existe uma matriz A -1 tal que A. A-1 = I, dizemos que A e uma matriz invertível, e chamamos A-1de matriz inversa de A.


Multiplicação de Matrizes:

  • Se A é uma matriz m x n, então A. In = Im.A. Isso indica que a matriz identidade é o elemento neutro para a multiplicação de matrizes.
  • Se A é; uma matriz m x n e B e C são matrizes n x p, então A(B + C) = AB + AC, ou seja, a multiplicação se distribui à esquerda em relação à soma de matrizes.
  • Seja A uma matriz m × n, B uma matriz n × p e x , então x. (AB) = A(x. B).
  • Se A, B e C são, respectivamente, matrizes m × n, n × p e p × q, então A(BC) =(AB)C (comutatividade).

Transposição de Matrizes:

Seja A uma matriz m x n, definimos a transposta de A como sendo a matriz n x m At= (bji), em que bji = aji.

Exemplos:

Propriedades: Sejam x um número real, A e B matrizes m x n e C uma matriz n x p. Então valem as seguintes propriedades:

Conteúdo gentilmente cedido por: Universidade Federal do Ceará
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