Trigonometria

A trigonometria estabelece relações precisas entre os ângulos e os lados de um triângulo. Deniremos as três funções (mesmo se a própria noção de função será estudada no próximo capítulo) trigonométricas elementares, sen (seno), cos (cosseno) e tan (tangente), e daremos as suas propriedades básicas. Nos próximos capítulos olharemos mais de perto as propriedades analíticas dessas funções.


Medir ângulos no plano

Para começar, é importante escolher uma unidade (como "metros" para comprimentos, ou "litros" para volumes) para medir um ângulo determinado pela abertura entre duas retas. Descreveremos as duas unidades mais usadas, graus e radianos.

Os ângulos serão medidos a partir de uma reta horizontal, em sentido antihorário. A abertura mínima, naturalmente, é denida como valendo zero, qualquer que seja a unidade. O que precisa ser denido é o valor do ângulo total. Se o ângulo for medido em graus, esse ângulo total é denido como valendo 360 graus:

Uma vez que o ângulo total foi xado, a medição dos outros se faz proporcionalmente: a metade do ângulo total vale 180 graus, o ângulo reto mede 90 graus, etc. A vantagem dessa unidade é que vários ângulos bastante usados em geometria tomam valores inteiros: 30, 60, 90, 180, 270, etc.

Observe que apesar da posição do ângulo total coincidir com o ângulo nulo, eles devem ser considerados como distintos.

Um outro jeito natural de medir ângulos parte da seguinte idéia: desenhe o círculo de raio 1 centrado na origem e, partindo do ponto (1; 0) (que corresponde a um ângulo de 0), ande ao longo do círculo no sentido antihorário. Quando tiver percorrido uma distância igual ao raio do círculo (isto é, 1), o ângulo correspondente é denido como sendo de 1 (um) radiano:

Observe que o ângulo total corresponde à circunferência de um círculo de raio 1: 2π.

Em geral, nessa apostila, os ângulos serão medidos em radianos. Se a medida de um ângulo em graus é αg e em radianos é αr, a conversão se faz da seguinte maneira: como o ângulo total mede 360 graus e 2π radianos, temos Portanto,

(1.17)

Assim, verica-se por exemplo que um ângulo de 90 graus corresponde a 1:57::: radianos

Exercício 1.18. O ponteiro dos segundos de um relógio mede 20 centímetros. Qual distância a ponta desse ponteiro percorreu depois de uma hora e 15 minutos?.

Um ângulo negativo será interpretado como medido no sentido horário:


Seno, cosseno e tangente

Para poder denir as ligações entre os ângulos e os lados de um triângulo, é necessário fazer umas simplicações. Trabalharemos com um triângulo retângulo, isto é, que possui um ângulo reto. Considere então o seguinte triângulo ABC, retângulo em C:

Com respeito a α, b é chamado de cateto adjacente, a de cateto oposto, e c de hipotenusa.

Se dois lados forem conhecidos, o terceiro pode ser calculado usando o Teorema de Pitágoras, e o valor do ângulo α é determinado. Como qualquer triângulo semelhante a ABC tem os mesmos ângulos, α é determinado uma vez que um dos quocientes a/c , b/c , ou a/b for conhecido. A ligação entre α e esses quocientes é chamada respectivamente seno, cosseno e tangente de α , e denotada por

Observe que a seguinte relação sempre vale:

(1.18)

Em alguns casos simples, sen α , cos α e tan α podem ser calculados manualmente.

Exemplo 1.6. Considere Para calcular sen π/4 , cos π/4 e tan π/4 , consideremos o seguinte triângulo:

Exercício 1.19. Montando em cada caso um triângulo apropriado, calcule sen π/3 , cos π/3 , tan π/3 , sen π/6 , cos π/6 , tan π/6 .

Faremos agora uma generalização, que permitirá enxergar melhor os três números sen α, cos α e tan α, e que será também útil para considerá-las como funções de uma variável real, a partir do próximo capítulo.

Para tanto, usaremos um triângulo cuja hipotenusa é de tamanho c = 1. Isto é, o ponto B do triângulo da gura acima é posicionado no círculo de raio 1 centrado na origem, chamado círculo trigonométrico. As funções trigonométricas podem então ser medidas efetivamente olhando para os comprimentos da seguinte figura:

Observe como sen α, cos α e tan α mudam à medida que B se movimenta ao longo do círculo. Em particular, B pode dar uma volta completa no círculo, o que permite estender as funções trigonométricas a qualquer ângulo 0 <= α <= 2π, e também para valores maiores ou até negativos. Os sinais das funções trigonométricas mudam dependendo do quadrante ao qual B pertence:

Várias propriedades podem ser obtidas a partir do círculo trigonométrico. Por exemplo, observe que α e -α têm o mesmo cosseno, mas que ao transformar α em -α , o seno muda de sinal. Portanto,

(1.19)

Exercício 1.20. Prove as identidades:


Exercício 1.21. Complete a seguinte tabela

Conteúdo gentilmente cedido por: Sacha Friedli
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