Números reais

O conjunto dos números reais, R, pode ser visto como o conjunto dos pontos da linha real, que serão em geral denotados por letras minúsculas: x; y; s; t; u, etc. R é munido de quatro operações aritméticas básicas: adição (+), subtração (-), multiplicação (× ou •) e divisão (÷, ou simplesmente /).

Lembremos a importância de dois números com papel relevante com respeito à adição e multiplicação. Primeiro, o elemento 0 ("zero") é tal que x+0 = 0+x = x, x0 = 0x = 0 para todo x. Um real x diferente de zero será às vezes chamado de não-nulo.

Por outro lado, o elemento 1 ("um") é tal que x • 1 = 1• x = x para todo x pertencente R.É importante lembrar que a divisão por zero não é denida . Portanto, símbolos do tipo x/0 ou 0/0 não fazem sentido. No entanto, 0/x = 0 para todo x ≠ 0.

Os subconjuntos de R serão em geral denotados usando letras maiúsculas. Por exemplo, A = {0; 1; 2} é o conjunto que contém os três números reais 0; 1 e 2, e B = (0; 2) é o intervalo aberto que contém todos os reais entre 0 e 2 (ver abaixo). O conjunto dos números naturais é

e o conjunto dos inteiros é

As operações entre conjuntos são: interseção (∩), união (U), diferença (\). O conjunto vazio será denotado por Ø ?.


Equações do primeiro e segundo grau

Considere a equação do primeiro grau:

(1.1)

Resolver essa equação signica achar o(s) valor(es) da variável x para os quais a igualdade em (1.1) é verdadeira. Esse conjunto de valores será denotado por S e chamado conjunto de soluções. A resolução é bem conhecida: isolando x obtemos uma única solução x = -2. Portanto, o conjunto das soluções de (1.1) é S = {-2}.

Considere em seguida a equação do segundo grau:

(1.2)

Aqui, sabemos que existem duas soluções, x = ±√9 = ±3, logo S = {+3;-3}.

Agora, já que um número negativo não possui raiz quadrada, a equação

não possui nenhuma solução real: S = Ø. Finalmente,

possui uma única solução: S = {0}.

Um outro jeito de entender (1.2) é de escrevê-la x2 - 9 = 0 e de fatorar o polinômio x2 - 9, obtendo um produto de dois fatores:

Para o produto de dois fatores (aqui, x - 3 e x + 3) ser zero, é necessário que pelo menos um deles seja nulo. Se for o primeiro, x - 3 = 0, então x = 3. Se for o segundo, x + 3 = 0, logo x = -3. De modo geral, para x ser solução de uma equação da forma

pelo menos um dos fatores, (x - α) ou (x - β), deve ser igual a zero, o que implica x = α ou x = β. Portanto, o conjunto das soluções de (1.3) é dado por S = {α; β}.

Olhemos agora para a equação do segundo grau da forma geral

(1.4)

Se a = 0, essa equação é do primeiro grau,

e a sua única solução é dada por (supondo b ≠ 0). Isto é,Por outro lado, se a 6= 0, então dividindo (1.4) por a, e completando o quadrado obtemos:

Portanto,

Dena Δ=b2 - 4ac. Se Δ < 0, não tem soluções: S = Ø. Se Δ >=0, podemos tomar a raiz quadrada em ambos lados dessa última expressão, e obter

Isto é,

(1.5)

Resumindo: quando a ≠ 0, o conjunto das soluções de (1.4) é dado por

Exercício 1.1. Resolva as seguintes equações.


Exercício 1.2. Existe um triângulo retângulo de área 7 e de perímetro 12?

Conteúdo gentilmente cedido por: Sacha Friedli
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