Operações elementares com linhas de uma matriz

Seja A uma matriz m x n. Chama-se operação elementar com linhas de A qualquer uma das operações descritas a seguir:

Permutação de duas linhas de A;

Multiplicação de uma linha de A por um número real não nulo;

Substituição de Ai por Ai + xAj, em que j diferente i e x é um número real qualquer.

Exemplo:

A primeira operação acima consistiu em multiplicar a primeira linha por 1/3 e a segunda operação em substituir a segunda linha por ela mais (-2) vezes a primeira (A2 - 2A1).

Sejam A e B matrizes m × n. Dizemos que A é linha-equivalente a B se B pode ser obtida a partir de A através de operações elementares com linhas. (No exemplo anterior, notamos que a primeira matriz é linha-equivalente à terceira)

Matriz na forma escada:

Seja A uma matriz m x n. Dizemos que A é uma matriz na forma escada, se as seguintes condições são satisfeitas:

As possíveis linhas nulas ficam abaixo das possíveis linhas não nulas.

O primeiro termo não nulo de cada linha não nula é igual a 1.

Os demais termos da coluna à qual pertence o primeiro termo não nulo de uma linha não nula são todos nulos.

A coluna à qual pertence primeiro termo não nulo de uma linha não nula fica à direita do primeiro termo não nulo da linha anterior, isto é, se p é o número de linhas não nulas e se o primeiro termo não nulo da i-ésima linha não nula ocorre na ki -ésima coluna, então k1 < k2 < ... < kp.

Exemplos:

Teorema: Toda matriz m x n é linha-equivalente a uma matriz na forma escada.

Exemplo:

Questões

  1. Se A= e B= , calcule AB e BA.
  2. Se A= , ache B, de modo que B2 = A.
  3. Suponha que A≠0 e AB=AC onde A,B,C são matrizes tais que a multiplicação esteja definida.

    a) B = C?

    b) Se existir uma matriz Y, tal que YA=I, onde I é a matriz identidade, então B=C?

  4. Diz-se que as matrizes A e B são comutativas se AB = BA. Encontre todas as matrizes que sejam comutativas com .
  5. Seja A = :

    a) Encontre A2 e A3 .

    b) Se f(x)= x3 - 3x2 - 2x + 4 , encontre f(A)

    Se g(x) = x2 - x - 8, encontre g(A)

  6. Para cada uma das matrizes a seguir, encontra uma matriz na forma escada, à qual a matriz dada é linha equivalente.

  7. Sejam A e B matrizes quadradas do mesmo tamanho, em que A é invertível. Mostre, por indução, que (ABA-1)n = ABn A-1 para todo inteiro positivo n.

Conteúdo gentilmente cedido por: Universidade Federal do Ceará
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