Identidades trigonométricas

As identidades do Exercício 1.20 deram algumas ligações entre seno, cosseno e tangente. O Teorema de Pitágoras dá também a relação

(1.24)

Provaremos agora a identidade

(1.25)

Apesar desta valer para ângulos α e β quaisquer, suporemos que α ;β pertencente (0; π/4 ), e usaremos o seguinte desenho:

Observe que sen(α + β) = d(A;C) = d(A;B) + d(B;C). Usando o ponto E (projeção ortogonal de A no segmento OD) e olhando para o triângulo OEA, temos d(O;E) = cos β e d(A;E) = sen β. Observe também que o ângulo BAE vale α. Portanto, d(A;B) = d(A;E)/ cos α = sen β/ cos α e d(B;E) = d(A;B) sen α. Por outro lado, d(B;C) = d(O;B) sen α, mas como

temos

o que prova (1.25).

Exercício 1.22. Prove as identidades:


Exercício 1.23. Prove as identidades:


Exercício 1.24. Calcule a equação da reta r que passa pelo ponto (2;-1), cujo ângulo com a horizontal é igual a 60o.


Exercício 1.25. Resolva:

Conteúdo gentilmente cedido por: Sacha Friedli
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