Os testes clássicos da relatividade geral

Ficha de Aprendizagem

A Relatividade Geral vai a exame

Como qualquer nova hipótese, a Relatividade Geral só seria aceite como a teoria válida para a Gravitação depois de explicar os fenómenos já compreendidos pela Lei da Atracção Universal de Newton. Como tal, é natural e desejável que, para um regime dito ”clássico”, ambas as explicações coincidam. Por descrição clássica entende-se a que estuda os fenómenos naturais usando apenas os conceitos da Física anterior ao século XX. Estes conceitos, que não incluem a Mecânica Quântica ou a Teoria da Relatividade (ou as teorias posteriores baseadas nestas), são válidos em regimes de baixas energias e/ou velocidades, e em fenómenos macroscópicos, como os fenómenos predominantes no nosso dia-a-dia.

A influência gravitacional devida a um corpo é descrita classicamente pela expressão Newtoniana para a força gravitacional,

Relatividade Geral, a Equação de Einstein no vácuo (isto é, na ausência de matéria ou energia, quando o tensor energia-momento se anula, Tµν = 0) é Gµν = 0

A solução desta equação é a métrica que o espaço-tempo possui ao redor de um corpo central; em coordenadas espaciais esféricas (r, θ, φ), escreve-se :

chamada de métrica de Schwarzschild, em honra ao físico que a descobriu.

O objectivo não é analisar profundamente a forma específica da métrica acima, mas apenas notar a diferença entre esta e a métrica de Minkowski, que tinha todos os elementos diagonais constantes, enquanto que a métrica de Schwarzschild tem elementos que dependem da distância r ao corpo central (o Sol, por exemplo). Quando nos afastamos muito do Sol, a distância r torna-se tão grande que podemos ignorar a contribuição dos termos dependentes desta coordenada — pois são inversamente proporcionais a r, tornando-se por isso muito pequenos. Concluímos que, a distâncias muito grandes, a métrica de Schwarzschild tende (assimptoticamente) para a métrica de Minkowski.

Os testes clássicos da relatividade geral

Conhecendo a métrica do espaço-tempo, podemos calcular a aceleração sentida por uma partícula. Mais correctamente, chamamos aceleração ao desvio que esta sente em relação a uma trajectória a direito: num espaço-tempo plano, o caminho mais curto entre dois pontos é um segmento de recta. Mas num espaço-tempo curvo, o conhecimento da métrica permite-nos calcular este caminho mais curto, que será diferente!

A tarefa de calcular a aceleração é matematicamente muito exigente, mas podemos compreender facilmente qual a diferença entre a previsão da mecânica clássica e da Relatividade Geral: se completássemos o cálculo da aceleração segundo a Relatividade Geral veríamos que, no chamado regime Newtoniano (caracterizado pela condição GM rc2), obteríamos o equivalente à força de atracção universal prevista por Isaac Newton. Este resultado é muito importante: nenhuma nova teoria pode dizer que a teoria anteriormente aceite está errada, no domínio em que já foi testada e comprovada. Pelo contrário, o objectivo de uma nova teoria (em qualquer ramo da Ciência) é prever fenómenos que não eram explicados anteriormente, mas incluir também a teoria que descrevia os já compreendidos. Como sabemos que a órbita dos planetas é descrita com bastante proximidade pelo efeito clássico da força de atracção universal de Newton, a Relatividade Geral teria de incluir os resultados mais antigos.

Dizemos assim, que a teoria de Gravitacão de Newton é uma aproximação da Relatividade Geral, válida na condição rc2), isto é, quando a massa do corpo central é suficientemente pequena (como é o caso do Sol) e a distância é suficientemente grande.

Mas, obviamente, encontrar uma descrição nova da Natureza não implica apenas incluir o conhecimento anteriormente estabelecido, mas expandi-lo. Assim, a obtenção da métrica de Schwarzschild levou a uma corrida para a verificação experimental dos efeitos não previstos pela teoria clássica de Newton.

Historicamente, foram considerados três testes em particular:

  • a precessão do perihélio da órbita de Mercúrio,
  • a deflexão da luz pelo Sol,
  • o desvio para o vermelho da luz.

O mau comportamento de Mercúrio

No Século XVII, o astrónomo alemão Johannes Kepler recorreu a várias observações sistemáticas para estabelecer as chamadas três Leis de Kepler; a primeira enuncia que os planetas descrevem órbitas elípticas, com o Sol num dos focos. Estas leis são empíricas, isto é, derivam directamente da observação, não se compreendendo a causa física por detrás destes comportamentos. Só com o aparecimento da Mecânica de Newton é que se provou que esta forma geométrica resulta da força de atracção universal, proporcional ao inverso do quadrado da distância entre o Sol e o planeta.

O resultado de uma órbita perfeitamente elíptica obtém-se no caso ideal de um planeta atraído apenas por outro corpo (o Sol), assumido como perfeitamente esférico.

Se tivermos em conta a precessão dos equinócios, a existência dos outros corpos do Sistema Solar (planetas, asteróides, etc.) e da forma ligeiramente achatada nos pólos do Sol (devido à rotação em torno de si próprio), a Mecânica de Newton permite demonstrar que a órbita elíptica deixa de ser perfeita, sendo perturbada pela chamada precessão do seu perihélio.

Fig. 1 - Precessão (exagerada) do perihélio de um corpo em órbita em torno de outro: a laranja, a órbita elíptica perfeita prevista pela Mecânica de Newton, na ausência de perturbações (créditos: KSmrq).

O Perihélio, como a raiz grega da palavra revela, é o ponto da elipse mais próximo do Sol. No caso de uma órbita não perturbada, este ponto (perihélio) mantém-se fixo ao longo do tempo.

No entanto, os efeitos cumulativos acima referidos fazem com que este ponto geométrico se vá deslocando lentamente no espaço, perfazendo uma rotação em torno do Sol, como se pode observar na animação seguinte.

Precessão do perihélio em torno do Sol

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