Um universo cheio de curvas

Ficha de Aprendizagem

Para fechar o círculo de inspiração de Einstein, faltava relacionar a equivalência da massa inercial e gravítica com a Relatividade Restrita, sem a qual este não acreditava ser possível compreender os fenómenos físicos. E, de facto, a referida teoria é ”Restrita” porque a análise da relatividade do espaço e do tempo (ou, melhor, do espaço-tempo como um todo) implica a comparação da medida destas grandezas entre observadores com velocidades diferentes, mas constantes. Einstein concluiu então que, para generalizar a Relatividade, era necessário que esta fosse aplicada a corpos dotados de aceleração. E se, como acreditava, a aceleração é equivalente à gravidade, então uma teoria da Relatividade Geral seria forçosamente uma teoria de Gravitação, e vice-versa!

Einstein avançou então para a construção desta nova teoria. Para Newton, um corpo será desviado do movimento uniforme (repouso ou movimento rectilíneo com velocidade constante) pela acção a distância das forças existentes. Einstein adoptou uma postura radicalmente diferente, ao relacionar o movimento dos corpos com a geometria do espaço e do tempo, não com forças responsáveis pela trajectória. Simplificadamente, eis a diferença entre o seu pensamento e a mecânica clássica: para Newton, um corpo mantém-se com movimento uniforme rectilíneo até que uma força desvie a sua trajectória; para Einstein, um corpo segue sempre o caminho mais curto entre dois pontos (as chamadas geodésicas); são o próprio espaço e tempo que vão mudar de ”forma”, fazendo com que estes caminhos mais curtos deixem de ser rectilíneos!

Matematicamente, dizemos que um espaço plano se caracteriza por geodésicas que são segmentos de recta unindo os dois pontos; no entanto, numa geometria esférica, tal não será o caso. O exemplo mais familiar é o da superfície terrestre, em que o caminho mais próximo entre dois pontos é um arco do chamado ”grande círculo”, circunferência com o mesmo diâmetro que o da Terra.

Pedro Nunes, Cosmógrafo Real

Como curiosidade, note-se que foi Pedro Nunes quem provou a distinção entre estas curvas e as chamadas loxodrómicas, que dão o percurso seguido se se mantiver um navio sempre a rumar ”em frente”. Num espaço plano, pode-se obviamente alcançar um determinado destino apontando para este e seguindo a recta resultante; no caso do globo terrestre, a curva loxodrómica seguida ao apontar inicialmente para um objectivo não irá passar por este, mas espiralar em direcção a um dos pólos! Como tal, são necessárias correcções constantes no rumo, para seguir o caminho mais curto entre dois pontos (o grande círculo que passa por estes).

Fig. 1 - Projecção estereoscópica do hemisfério Norte, com os grandes círculos (geodésicas) e loxodrómicas (espirais) representadas (créditos: Carlos A. Furuti (1996, 1997).

Esta e outras conclusões são o objecto de estudo da geometria não-Euclideana, assim chamada porque não se baseia nos axiomas do grande matemático grego Euclides, cujos estudos se aplicam apenas a espaços planos; entre outros resultados, mostra que teorema de Pitágoras não é válido em espaços curvos, ou que o quinto axioma de Euclides — que, numa formulação simplificada, afirma que duas rectas paralelas não convergem nem divergem uma da outra, ou que os ângulos de um triângulo somam 180 graus.

Fig. 2 - Soma dos ângulos internos diferente de 180 graus (créditos: Lars H. Rohwedder e Timothy D. Brauning).

A geometria deforma-se

Muito estudada desde o século XIX, Einstein foi o primeiro a aplicar a geometria não-euclideana na descrição da Natureza: em vez do movimento rectilíneo uniforme de Newton, perturbado por forças, Einstein colocou a hipótese que o movimento das partículas-teste (isto é, tão pequenas que não produzem efeitos sobre si próprias) seguem as geodésicas do espaço-tempo – só que estas geodésicas, o caminho mais curto entre dois pontos, não é a direito porque o próprio espaço-tempo está curvo!

As implicações desta ideia são tremendas:

Na ausência de outros corpos, o espaço-tempo é plano, isto é, descrito pelas leis da geometria euclideana: o caminho mais curto entre dois pontos é um segmento de recta, os ângulos internos de um triângulo somam 180 graus, etc... tudo o que se dá como certo no estudo da geometria (euclideana) no ensino básico e secundário. Considerando o espaço e o tempo como um todo, o equivalente a um espaço plano é um espaço-tempo de Minkowski. No entanto, a presença de outros corpos irá deformar o espaço-tempo, fazendo com que as geodésicas já não sejam rectas!

Note-se que, localmente, qualquer espaço-tempo curvo se assemelha a um espaço-tempo plano (de Minkowski). Para melhor visualização, pensemos na superfície da Terra: mesmo sabendo que é curva, consideramo-la plana nas escalas do dia-a-dia: a escola, a rua, a cidade. Isto porque, para pequenas distâncias, as geodésicas que unem dois pontos são muito bem aproximadas por rectas e a geometria euclideana é válida. É assim que uma formiga vê o mundo: como é tão pequena, a superfície curva de uma laranja parece-lhe ser uma planície, por exemplo.

Como exemplo, tomemos o caso do movimento orbital da Terra em torno do Sol: segundo a mecânica clássica de Newton, a força gravitacional que o astro exerce sobre o nosso planeta faz com que este adquira instantaneamente (devido à acção à distância do Sol) uma aceleração centrípeta; esta produz um movimento circular (na verdade, ligeiramente elíptico, como descobriu o astrónomo alemão Johannes Kepler).

Para Einstein, a massa do Sol deforma o espaço-tempo e, como resultado, as geodésicas que descrevem o movimento da Terra não são rectas, mas sim curvas: as órbitas. Podemos visualizar esta interpretação na animação seguinte:

Resolve-se assim a questão da equivalência entre massa gravitacional e inercial: a inércia de um corpo já não consiste na sua resposta às forças que a afectam, produzindo uma aceleração, mas no seu movimento ao longo de geodésicas; e a gravidade não é uma acção à distância, quantificada por uma massa gravitacional, mas uma deformação destas geodésicas.

Réguas e relógios

Há um grande caminho entre a intuição física da teoria e a sua formalização matemática. Sem entrar em detalhes específicos, podemos tentar compreender como é que a Relatividade Geral ”funciona” matematicamente. Como vimos, Einstein deixou cair a noção de acção à distância, em que corpos se influenciam mutuamente através de forças, modificando assim o seu tipo de movimento. Em vez disso, Einstein perseguiu a ideia de corpos que se movimentam num espaço-tempo (a quatro dimensões: três espaciais e uma temporal) – é a própria estrutura deste espaço-tempo que é alterada pela presença de matéria!

Mas o que é o tão famoso espaço-tempo?

Como o nome indica, é o espaço matemático que obtemos quando localizamos acontecimentos não só através da sua posição, mas também do instante em que sucederam. Tal não tem nada de estranho: todo o raciocínio matemático aplicável a espaços tridimensionais é extensível a um número arbitrário de dimensões. Basta lembrar que um relógio não é mais que uma ”régua temporal”, em que os batimentos dos ponteiros, ritmo do coração ou estações do ano substituem os risquinhos de uma régua. Assim, podemos dizer que nos deslocamos no espaço-tempo: começámos a nossa viagem no acontecimento ”Nascimento”, em que as coordenadas espaciais são as de onde se nasce, e a coordenada temporal é a do instante exacto em que nascemos. Se quisermos, podemos pensar que o futuro já ”existe” no espaço-tempo, do mesmo modo que locais onde nunca estivemos já existem no espaço a três dimensões.

É preciso descrever matematicamente as características deste espaço-tempo, bem como a matéria e energia que se encontra nele. Parece exótico tentar descrever algo tão abstracto como o espaço! Mas, de facto, é este o objectivo da geometria. Todos estamos familiarizados com ideias como a amplitude dos ângulos, o comprimento de arestas ou a distância entre pontos; todos estes conceitos recorrem à noção de medição.

Num espaço plano (ou seja, euclideano), a medição dos ângulos internos de um triângulo indica-nos que estes somam 180 graus; se tomarmos duas rectas paralelas e medirmos a distância entre elas, concluímos que esta se mantém constante.

Assim, podemos definir um espaço curvo como aquele em que a medição produz resultados diferentes dos acima referidos. Como vemos na figura 5, num espaço curvo fechado (tecnicamente, com curvatura positiva), duas paralelas encontram-se num ponto, e a soma dos ângulos internos de um triângulo é menor que 180 graus (pode-se confirmar este resultado espetando três agulhas numa laranja e traçando um triângulo entre elas com fio de coser). Num espaço curvo aberto (com curvatura negativa), duas paralelas afastam-se cada vez mais, e a referida soma é superior a 180 graus.

Fig. 3 - O comportamento de rectas paralelas, consoante o tipo de geometria.

A estrutura e curvatura do espaço pode assim ser determinada a partir das propriedades do acto de medir distâncias e ângulos nesse espaço. Obviamente, a estrutura do tempo estará relacionada com o acto de medir intervalos de tempo. Assim, pode-se caracterizar o espaço-tempo através do comportamento de réguas e relógios ideais (isto é, perfeitamente calibrados e que nunca se desacertam, expandem, etc.): os matemáticos recorrem ao conceito matemático de métrica, que formaliza o conceito familiar de régua e relógio.

Quatro dimensões... dinâmicas

A forma específica da métrica depende da nossa escolha de coordenadas e referencial utilizado quando fazemos uma medição. Podemos compreender isto facilmente: a distância entre dois pontos pode ser de 1 metro, mas também de 10 decímetros ou 0.001 quilómetros; se quisermos, podemos especificar a posição de um ponto em coordenadas esféricas, usando dois ângulos e a distância à origem do referencial. Do mesmo modo, podemos mudar a coordenada temporal (e a unidade em que vem especificada): um ano normal tem 365.2425 dias, mas também 31556952 begin_of_the_skype_highlighting 31556952 end_of_the_skype_highlighting?? segundos.

Assim, podem existir diferentes formas para a métrica, o instrumento matemático que caracteriza o espaço-tempo. Por enquanto, basta-nos saber que um espaço-tempo plano (ou seja, euclideano) é caracterizado pela chamada métrica de Minkowski – embora esta pareça radicalmente diferente em coordenadas cartesianas ou esféricas. Sem aprofundar, podemos dizer que a métrica se escreve como uma matriz (objecto matemático semelhante a uma grelha de palavras cruzadas, com números em cada entrada); em coordenadas cartesianas, a métrica de Minkowski é:

Diz-se que esta é uma matriz 4 × 4, visto ter quatro colunas e linhas. A razão é óbvia: tal corresponde às quatro dimensões do espaço-tempo.

A métrica é o instrumento matemático que exprime as propriedades geométricas do espaço-tempo, permitindo-nos calcular distâncias entre acontecimentos. Um espaço-tempo curvo é aquele cuja métrica se desvia da métrica de Minkowski. Obviamente, tal inclui métricas cujos elementos são funções das coordenadas, variando de ponto para ponto do espaço-tempo.

Matéria e energia

A teoria da Relatividade Geral pretende relacionar a estrutura do espaço-tempo com a matéria e energia nele presente; a métrica atrás descrita mais não é que o conjunto das réguas e relógios generalizados que nos permitem conhecer a estrutura do espaço-tempo, isto é, o modo como se medem distâncias e tempos.

Resta-nos definir uma quantidade que permita avaliar o conteúdo de matéria e energia; este tem o nome técnico de tensor energia-momento; tal como a métrica, que caracteriza a estrutura do espaço-tempo, também este tensor é uma matriz 4 × 4.

Genericamente, podemos representar um tensor energia-momento como a matriz

em que cada elemento da matriz é indicado pela linha e coluna a que pertence; por convenção, o índice 0 refere-se a tempo, e os índices 1, 2, 3 indicam as direcções espaciais. Se a matriz for simétrica, então podemos ”trocar” dois índices, isto é, Tij = Tji, para quaisquer i, j = 0, 1, 2, 3.

Cada componente relaciona-se com uma grandeza física da forma de matéria ou energia analisada; assim, os elementos diagonais indicam a densidade ρ e a pressão segundo as três direcções espaciais, px, py, pz, enquanto que os elementos não-diagonais se relacionam com a viscosidade e o fluxo de energia ou momento linear.

A forma específica deste tensor energia-momento depende do tipo de matéria ou energia considerado. Assim, teremos um tensor energia-momento para os chamados fluidos perfeitos, um modelo ideal de fluidos reais em que se despreza a viscosidade, condução de calor e tensões laterais. Dada a famosa equivalência entre matéria e energia, teremos também um tensor energia-momento associado com o campo electromagnético.

Independentemente da maior ou menor complicação matemática do conceito, o importante a reter é que não só a matéria, mas também a energia (electromagnética ou outra) pode ser representada matematicamente por um tensor energia-momento apropriado. Como tal, não é apenas a massa que irá deformar o espaço-tempo (como está explícito na lei da Gravitação Universal de Newton): mesmo um campo electromagnético tem gravidade!

Conteúdo gentilmente cedido por: IST
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