Equações do movimento Básico

Corpo com movimento rectilíneo uniforme

O objectivo da Física é entender os fenómenos e prever, a partir das condições existentes num dado momento, qual vai ser o comportamento futuro de um dado sistema. É nesta última fase que o uso da Matemática é essencial para a Física, uma vez que fornece os utensílios próprios para esse fim.

Comecemos pelo caso mais simples: um corpo movendo-se com um movimento rectilíneo uniforme . Escolhamos, para uma questão de maior generalidade, um ponto de referência a uma distância x0 do ponto em que vamos estudar o movimento e comecemos a contar o tempo a partir de um dado instante t0. Pela própria definição de velocidade sabemos que ela corresponde ao quociente entre o espaço percorrido e o tempo demorado a percorrê-lo. Sendo a velocidade constante, esse quociente não se altera ao longo do percurso. Ou seja, qualquer distância x-x0percorrida é igual à velocidade v vezes o tempo t-t0  demorado a percorrer essa distância

Podemos reescrever esta relação da seguinte maneira

que nos mostra como a distância x percorrida a partir de x0 pode ser encontrada para qualquer momento t. Esta equação do movimento designa-se por vezes por lei dos espaços. Ela é válida para qualquer instante t com o mesmo valor dev por a velocidade ser constante.

Movimento rectilíneo e uniformemente acelerado

Passemos agora ao caso um pouco mais complicado em que a velocidade não é constante, mas aumenta de forma constante no tempo (movimento rectilíneo e uniformemente acelerado). No que toca à previsão da velocidade é fácil: sendo a aceleração constante, usando a definição de aceleração sabemos que para quaisquer instantes t e t0

Também podemos ainda escrever para o espaço percorrido

só que v tem de ser tomada como velocidade média porque a velocidade agora varia no tempo.

Para termos uma melhor aproximação vamos dividir o intervalo de tempo em que pretendemos estudar o movimento em pequeníssimos intervalos de tempo, todos da mesma duração. Como são tão pequenos, podemos tomar como boa aproximação que a velocidade não se altera neles. Só precisamos, para que tudo corra bem, de corrigir o valor da velocidade quando passamos de um intervalo para outro. Então, ao fim do primeiro intervalo a posição é

Ao fim do segundo intervalo , a posição será (usando a relação anterior)

Usando a lei das velocidades, temos

O que nos interessa é relacionar a posição x2 com o instante t2 e não com tempos intermédios como t1. Para isso lembremo-nos que os intervalos de tempo são todos iguais e assim

pelo que temos a equação

Se agora passarmos para o instante seguinte t3 teremos

e no instante seguinte temos

Movimento rectilíneo uniformemente acelerado

Vemos assim que à medida que o tempo aumenta a posição é dada de forma cada vez mais precisa pela equação:

EQUAÇÕES DO MOVIMENTO

O objectivo da Fïsica é entender os fenómenos e prever, a partir das condições existentes num dado momento, qual vai ser o comportamento futuro de um dado sistema. É nesta última fase que o uso da Matemática é essencial para a Fïsica, uma vez que fornece os utensïlios próprios para esse fim.

A Mecânica Clássica ou Newtoniana baseia-se na noção de força para descrever os fenómenos fïsicos. Pela Lei de Newton, uma força está relacionada com a aceleração que provoca por

Se soubermos a forma da força, é assim possível determinar a posição em cada instante determinando a função x(t) que satisfaz a equação

Esta equação diferencial de 2ª ordem designa-se por equaçõo de movimento do sistema.

Formalmente, uma equação do tipo

pode sempre ser escrita sob a forma de um sistema de equações diferenciais de 1ª ordem

Como a adição de uma constante a x ou a v não altera qualquer das equações, a conclusão é que a solução da equação (1) é sempre determinada a menos de duas constantes. Do ponto de vista físico isso tem um significado profundo: a equação (1) permite determinar o comportamento de todos os sistemas físicos regidos por essa equação. A identificação do sistema específico que nos interessa é feita através da escolha específica dessas constantes.


Referenciais inerciais

Vimos que para poder descrever um dado fenómeno um observador tem de introduzir um referencial, ou seja, um sistema permitindo referenciar em cada instante a posição do que estáa ser observado.

A Física é uma ciência objectiva. Traduzindo esta afirmação por outras palavras, o que é visto por um observador tem de o ser por qualquer outro que esteja em condições de presenciar o mesmo fenómeno. Todavia, cada observador tem liberdade de escolher qual o referencial que mais lhe convém. A objectividade apenas implica ter de haver uma forma de relacionar as observações de todos eles.

Os referenciais não são todos equivalentes. Imaginemos que nos encontramos num elevador movendo-se para baixo num movimento rectilíneo com velocidade constante Se o observador que se encontra dentro dele deixar cair um objecto ele cairánormalmente por acção da força de gravidade normal. Imaginemos agora que num dado instante há um problema com o motor e o elevador entra em queda livre. Se o observador largar agora o mesmo objecto ele não cairá. A única diferença em relação ao caso acima é que agora o elevador se move com um movimento uniformemente acelerado.

No primeiro caso o referencial associado ao elevador (e ao observador) designa-se por referencial inercial (ou galileano, por esta noção ter sido introduzida por Galileu Galilei). No segundo caso o referencial designa-se por não-inercial. A sua principal característica é neles aparecerem forças suplementares designadas por forças de inércia.

Rerefenciais não inerciais

Para aprofundar o conceito de referencial inercial e não inercial, consideremos o caso de um carro em movimento acelerado em relação ao solo numa curva apertada. O passageiro é puxado para o exterior da curva. As forças de contacto carro-passageiro mantêm-no (felizmente…) dentro do carro. Para um observador à beira da estrada, no seu referencial terrestre ou do laboratório, considerado como inercial, o movimento do passageiro é acelerado. Considera-se que o carro e o passageiro são solidários, ou seja que não estão envolvidas as forças musculares do passageiro. Do ponto de vista do observador, o movimento do passageiro é descrito através da existência de uma força centrípeta que lhe provoca uma aceleração centrípeta.

Nesta animação, as forças aplicadas no passageiro e a aceleração sofrida são:

  • , a força centrípeta exercida sobre o veículo.
  • , a aceleração centrípeta do passageiro, que aponta para o raio de curvatura da trajectória do passageiro, no sentido do interior da curvatura.
  • o peso do passageiro, compensado pela reacção normal da estrada ao peso do veículo (forças que não estão representadas na animação).

De facto, de acordo com a 2ª lei da dinâmica de Newton, a soma das forças não é nula produzindo uma aceleração no passageiro, que, neste caso, corresponde à aceleração centrípeta:

No referencial acelerado do passageiro, que também é o do carro, enquanto o carro faz a curva, o passageiro permanece imóvel, visto que a soma das forças que se exercem sobre ele é nula e, de acordo com a 2ª lei de Newton, a aceleração aparente sofrida pelo passageiro também é nula:

em que, do ponto de vista do passageiro, as forças que lhe estão aplicadas são:

  • , o peso do passageiro.
  • , a soma das reacções ou forças de contacto entre o carro e o passageiro, que, por sua vez, são a soma das reacções normal e tangencial e, que mantêm o passageiro dentro do carro.
  • , a força centrífuga sentida pelo passageiro.

As forças de contacto entre o carro e o passageiro obrigam este último a fazer a curva, efectuando uma trajectória curvilínea. Contrariando a inércia do passageiro que, pelo Princípio de inércia (ou 1ª lei de Newton), o faria seguir em frente numa trajectória rectilínea com movimento uniforme, surge então uma força de inércia, neste caso, uma força centrífuga sofrida pelo passageiro. Essa força, por sua vez, tenta contrariar o movimento imposto ao passageiro para este manter a sua inércia.

Do ponto de vista do próprio passageiro, este último sente realmente uma força centrífuga que o puxa para fora do carro e que lhe provoca uma aceleração centrífuga.

Conteúdo gentilmente cedido por: IST
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