Descrição Geral do Movimento

A descrição do movimento de um corpo faz-se indicando a sua localização em cada instante. Para simplificar, o corpo pode ser representado por um ponto (chamado ponto material).

Para fazer a descrição precisamos de relógios, de réguas e de um ponto de referência.

Um objecto ao mover-se desenha uma trajectória. Como o nosso espaço tem 3 dimensões (comprimento, largura e altura), precisamos de três réguas que estão associadas ao ponto de referência O escolhido. A este conjunto chama-se um referencial. Para simplificar, essas réguas são representadas como vectores.

A posição do objecto num dado instanteéassim dada por três coordenadas. Uma trajectória corresponde portanto a uma sequência de conjuntos de quatro números (x, y, z, t).

Cada um desses conjuntos inclui o instante de observação t e as três coordenadas x, y, z, da posição do objecto nesse instante, conforme se pode observar na animação que se segue.

Movimento de um Corpo

Para indicar que a posição do corpo a cada instante é relativa ao ponto de referência O, costuma-se representá-la por um vector de posição r, em que as componentes do vector são as coordenadas do objecto.

A trajectória do corpo pode então ser representada por uma função r(t)ã que para cada instante t fornece o vector de posição.

A velocidade do corpo mede a relação entre o espaço percorrido e o tempo que levou a percorrê-lo. É uma grandeza vectorial, isto é, tem uma direcção e um sentido, que correspondem à direcção e sentido do movimento.

O espaço percorrido entre duas posições r1 e r2 mede-se pela diferença dos vectores de posição correspondentes.

A velocidade média corresponde ao vector

e indica a velocidade com que o corpo percorreria o espaço entre os dois pontos numa trajectória rectilínea no intervalo de tempo t2- t1.

A velocidade instantânea no instante t corresponde ao vector v quando t2 e t1 são instantes de tempo infinitamente próximos:

Representação do movimento num plano sem atrito

O vector v neste caso é, por definição, tangente à trajectória, e tem as componentes

A aceleração instantânea no instante t éigualmente definida como


Sistemas de coordenadas

A escolha do tipo de representação que queremos fazer de um dado movimento é muitas vezes crucial para a abordagem eficiente de um problema. Significa isto que temos de escolher judiciosamente as variáveis relevantes do processo em apreciação e representá-lo nessas variáveis.

Suponhamos que queremos representar o movimento de um corpo que segue uma t rajectória circular num plano, como ilustrado na animação.

Podemos tomar como variáveis descrevendo o nosso movimento as usuais coordenadas cartesianas (x,y). A trajectória será descrita por duas funções do tempo, x(t) e (y(t), que têm o constrangimento de estarem ligadas entre si por descreverem uma circunferência de centro (x0, y0) e raio R

O primeiro reparo a fazer em relação a esta escolha éa posição do ponto de referência. Melhor escolha seria colocá-lo no centro da circunferência. Nessas circunstâncias a equação de constrangimento anterior passaria a ter a forma

uma vez que as coordenadas x e y passariam a ser medidas a partir do centro da circunferência.

Representação do movimento circular uniforme.

Por outro lado, a condição de constrangimento mostra que as variáveis x e y não são independentes, ou seja, que uma pode ser expressa como função da outra

Isto significa que o problema não necessita de duas variáveis para a sua descrição, mas apenas uma. Dizemos por isso que o sistema tem apenas um grau de liberdade. O número mínimo de variáveis necessário para descrever um dado processo designa-se por número de graus de liberdade do sistema.

Embora o movimento seja realizado sobre um plano (num espaço a 2 dimensões) o sistema só tem um grau de liberdade e só necessita de uma coordenada para a sua descrição.

A escolha mais simples seria usar, por exemplo, a coordenada x. Isto implicaria o uso repetido de raízes quadradas cada vez que tivéssemos de introduzir a coordenada y nos nossos cálculos e, como sabemos, as raízes quadradas são objectos matemáticos pouco confortáveis.

A opção certa passa pelo uso de coordenadas polares em que a posição no plano é identificada por um ângulo e uma distância a um ponto de referência. Como sobre a circunferência a distância R é constante resta-nos apenas o ângulo para referenciar a posição.

Esta é a coordenada que precisamos para descrever o movimento e será ela que dependerá do tempo. A coordenadas como chama-se por vezes coordenadas generalizadas em contraponto às usuais coordenadas cartesianas. Estas últimas podem sempre ser recuperadas por transformações de coordenadas:

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