Integrais Impróprias

A integral de Riemann foi denida naturalmente para uma função f : [a, b] -> R contínua, como um limite de somas de retângulos. Nesta seção estudaremos integrais de funções em intervalos innitos, como [1, ∞) ou a reta inteira, ou em intervalos do tipo (a, b], em que a função pode possuir alguma descontinuidade (uma assíntota vertical por exemplo) em a. Tais integrais são chamadas de impróprias, e são muito usadas, em particular no estudo de séries (Cálculo II e CVV).

Integrais impróprias em intervalos innito

Consideremos para começar o problema de integrar uma função num intervalo innito, f : [a, ∞) -> R. Vemos imediatamente que não tem como denir somas de Riemann num intervalo innito: qualquer subdivisão de [a, ∞) contém um número innito de retângulos. O que pode ser feito é o seguinte: escolheremos um número L > a grande mas nito, calcularemos a integral de Riemann de f em [a, L], e em seguida tomaremos o limite L -> ∞:

que é nito. Logo, converge e vale 1. Como é uma função positiva no intervalo [0, ∞) todo, o valor de pode ser interpretado como o valor da área delimitada pela parte do gráco de contida no primeiro quadrante, pelo eixo x e pelo eixo y:

Observe que apesar dessa área nao possuir limitação espacial, ela é finita!

Exemplo 6.34. Considere f(x) = 1/x em [1, ∞):

Observação 6.10. As duas funções consideradas acima, e 1/x , tendem a zero no innito. No entanto, a integral imprópria da primeira converge, enquanto a da segunda diverge. Assim, vemos que não basta uma função tender a zero no innito para a sua integral imprópria convergir! De fato, a convergência de uma integral imprópria depende de quão rápido a função tende a zero. Nos exemplos acima, e x tende a zero muito mais rápido 7 que 1/x . No caso, tende a zero rápido o suciente para que a área delimitada pelo seu gráco seja finita, e 1/x tende a zero devagar o suciente para que a área delimitada pelo seu gráco seja infinita.

Exemplo 6.35. Considere a integral imprópria

A função integrada, numa integral imprópria, não precisa ser positiva:

Exemplo 6.36. Considere . Usando integração por partes (veja o Exercício 6.16),

Logo, a integral converge. Apesar do valor 1/2 ser > 0, a sua interpretação em termos de área não é possível neste caso, já que x -> é negativa em innitos intervalos:

Intuitivamente, para uma função f contínua possuir uma integral imprópria convergente no innito, ela precisa tender a zero. Vejamos que precisa de mais do que isso, no seguinte exercício:

Conteúdo gentilmente cedido por: Sacha Friedli
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