Integração de funções racionais

Nesta seção estudaremos métodos para calcular primitivas da forma

em que P(x) e Q(x) são polinômios em x. Lembramos que um polinômio em x é uma soma finita de potências inteiras e não negativas de , em que os ai são constantes. Por exemplo, x3 x+1 é um polinômio, mas não é. Lembramos que o grau de um polinômio é o maior índice i tal que ai ≠ 0.

Existe uma teoria geral que descreve os métodos que permitem calcular primitivas da forma (6.30). Aqui ilustraremos somente as idéias principais em casos simples.

A primeira etapa tem como objetivo simplicar a expressão para ser integrada:

* Se o grau de P for maior ou igual ao grau de Q, divide P por Q.

Exemplo 6.27. Considere . Aqui, P(x) = x2 é de grau 2, que é igual ao grau de Q(x) = x2 + 1. Logo, como a divisão de P(x) por Q(x) dá 1 com um resto de 1, temos . Logo,

(Observe que em vez de fazer uma divisão, podia ter observado que . )

Exemplo 6.28. Considere . Aqui, P(x) = x3 é de grau 3, que é maior do que o grau de Q(x) = x2 + 1. Logo, como a divisão de P(x) por Q(x)x com um resto de -x, temos . Logo,

em que grau () < grau(Q). A primitiva do primeiro polimômio é imediata, e o próximo passo é de estudar a primitiva da razão e .

Portanto, é preciso agora desenvolver técnicas para calcular primitivas de frações de polinômios, em que o grau do numerador é estritamente menor que o grau do denominador. Já sabemos tratar casos do tipo:

O objetivo será de sempre decompor a fração e numa soma de frações elementares desse tipo. O método geral, descrito abaixo em exemplos simples, pode ser resumido da seguinte maneira:

  • Fatore completamente o polinômio Q, o escrevendo como um produto de fatores de grau 2, possivelmente repetidos. Em seguida,
  • Procure uma decomposição de em frações parciais.

Exemplo 6.29. Considere . Aqui, x2 - 1 tem discriminante ∆ > 0, logo ele pode ser fatorado: x2 - 1 = (x - 1)(x + 1). Procuremos agora um jeito de escrever a função integrada na forma de uma soma de frações elementares:

Observe que se tiver um jeito de achar duas constantes (isto é: números que não dependem de x) A e B tais que a expressão acima seja vericada para todo x, então a primitiva será fácil de se calcular:

Essas expressões representam um sistema de duas equações nas incógnitas A e B, cuja solução pode ser calculada facilmente: A = 1/2 , B = 1/2. Veriquemos que os valores calculados para A e B são corretos:

Observação 6.7. Os valores de A e B podem ser achados de um outro jeito. Por exemplo, tomando o limite x -> -1 em (6.32) obtemos

Conteúdo gentilmente cedido por: Sacha Friedli
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