Sólidos de revolução

Nesta seção usaremos a integral para calcular o volume de um tipo particular de região do espaço, chamada de sólidos de revolução. (Em Cálculo III, volumes de regiões mais gerais serão calculados usando integral tripla.)

Considere uma função positiva no intervalo [a, b], f : [a; b] -> R+. Seja R a região delimitada pelo gráco de f, pelo eixo x e pelas retas x = a, x = b

Sabemos que a área de R é dada pela integral de Riemann

Consideremos agora o sólido S obtido girando a região R em torno do eixo x, como na figura abaixo:

Sólidos que podem ser gerados dessa maneira, girando uma região em torno de um eixo, são chamados de sólidos de revolução. Veremos situações em que a região não precisa ser delimitada pelo gráco de uma função, e que o eixo não precisa ser o eixo x.

Nesta seção desenvolveremos métodos para calcular o volume V (S) de um sólido de revolução S. Antes de começar, consideremos um caso elementar, que será também usado para o caso geral.

Exemplo 6.21. Suponha que f é constante em [a, b], isto é: f(x) = r > 0 para todo x ϵ 2 [a, b]:

Neste caso, o sólido gerado S é um cilindro (deitado). A sua base é circular de raio r, e a sua altura é b - a. Pela fórmula bem conhecida do volume de um cilíndro,

Queremos agora calcular V(S) para um sólido de revolução qualquer.

O procedimento será o mesmo que levou à propria denição da integral de Riemann: aproximaremos S por sólidos mais elementares. Usaremos dois tipos de sólidos elementares: cilíndros e cascas.

Aproximação por cilindros

Voltemos para o sólido de revolução da seção anterior. Um jeito de decompor o sólido S é de aproximá-lo por uma união de fatias verticais, centradas no eixo x:

Cada fatia é obtida girando um retângulo cujo tamanho é determinado pela função f. Para ser mais preciso, escolhemos pontos no intervalo [a, b], , e a cada intervalo [xi-1; xi] associamos o retângulo cuja base tem tamanho (xi - xi-1) e cuja altura é de f(xi). Ao girar em torno do eixo x, cada um desses retângulos gera uma fatia cilíndrica Fi, como no Exemplo 6.21:

Mas, como a fatia Fi é um cilindro deitado de raio f(xi) e de altura , o seu volume é dado por . Logo, o volume do sólido S pode ser aproximado pela soma dos volumes das fatias, que é uma soma de Riemann:

Exemplo 6.22. Seja R a região delimitada pela curva y = sen x, pelo eixo x, e pelas duas retas verticais x = 0 e x = π. Calculemos o volume do sólido S obtido girando R em torno do eixo x:

Pela fórmula (6.24), o volume deste sólido é dado pela integral

O importante, nesta seção, é de não tentar decorar fórmulas, e sim entender como montar uma nova fórmula em cada situação. Vejamos como, no seguinte exemplo.

Exemplo 6.23. Considere a região R do primeiro quadrante, delimitada pelo gráco da função f(x) = 1 - x2. Considere os sólidos S1 e S2, obtidos rodando R em torno, respectivamente, do eixo x e y:

Calculemos, para começar, o volume do sólido S1. O raciocíno já descrito acima permite usar a fórmula:

Consideremos agora o sólido S2. Por ser um sólido de revolução em torno do eixo y, a aproximação mais natural é de usar fatias horizontais, centradas no eixo y, como na figura a seguir:

Neste caso, dividimos o intervalo y ϵ [0, 1] em intervalos [yi-1, yi]. Ao intervalo [yi-1, yi] associamos uma fatia horizontal Fi de altura de de raio . De fato, já que Fi está na altura yi, o seu raio é dado pelo inverso da função x -> 1 - x2 (isto é ) no ponto yi. Assim, , e o volume de V(S 2) é aproximado pela soma das fatias:

Na próxima seção mostraremos um outro jeito de calcular V(S2).

(Haverá mais exercícios no m da próxima seção.)

Observação 6.6. As fórmulas vistas acima permitem montar um integral cujo valor é o volume do sólido, mas às vezes, pode ser que a primitiva necessária seja difícil de se calcular. Por exemplo, considere a região R do plano contida no semi-plano superior, delimitada pelo eixo x, pelas retas x = 1, x = π/2, e pelo gráco da função .
Usando as fórmulas acima, o volume do solido obtido girando R em torno do eixo x envolve uma integral cuja função integrante é ...

Conteúdo gentilmente cedido por: Sacha Friedli
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