Comprimento de arco

O procedimento usado na denição da integral de Riemann (cortar, somar, tomar um limite) pode ser útil em outras situações. As três próximas seções serão dedicadas ao uso de integrais para calcular quantidades geométricas associadas a funções. Comeceremos com o comprimento de arco.

Vimos acima que a integral de Riemann permite calcular a área debaixo do gráco de uma função f : [a, b] -> R. Mostraremos agora como calcular o comprimento do gráco, via uma outra integral formada a partir da função.

Procederemos seguindo a mesma idéia, aproximando o comprimento por uma soma. Escolhamos uma subdivisão do intervalo [a, b] por intervalos [xi, xi+1]:

Aproximaremos o comprimento do gráco da função, em cada intervalo [xi; xi+1], pelo comprimento do segmento que liga (xi, f(xi)) a (xi+1; f(xi+1)), dado por

em que Quando , o quociente tende a. Logo, o comprimento do gráco, L, é aproximado pela soma

que é uma soma de Riemann associada à função . Logo, tomando um limite em que o número de intervalos cresce e o tamanho de cada intervalo tende a zero, obtemos uma expressão para L via uma integral:

Exemplo 6.19. Calculemos o comprimento do gráco da curva , entre x = 0 e x = 1. Como ,

Devido à raiz que apareceu na fórmula (6.22) (após o uso do Teorema de Pitágoras), as integrais que aparecem para calcular comprimentos de grácos podem ser difíceis de calcular, isso mesmo quando a função f é simples

Exemplo 6.20. O comprimento da parábola y = x2 entre x = -1 e x = 1 é dado pela integral

Veremos na Seção 6.12 (ver o Exercício 6.57) como calcular a primitiva de .

Conteúdo gentilmente cedido por: Sacha Friedli
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